Matematické Fórum

Argcotgh x · 05. 11. 2014 15:39

Ahoj, nevím si moc rady s tímto:

Najděte matici A, takovou, že

A . (x) a (x)
(y) (y)

(sloupcové vektory)

jsou osově souměrné vektory podle osy 1.kvadrantu.

*

Napadá mě k tomu jenom:

- osa 1.kvadrantu je přímka y = x
- osově souměrné podle osy 1.kvadrantu jsou např. i přímky x = 0 (osa y) a y = 0 (osa x) nebo sama přímka y=x

- sloupcový vektor
(x)
(y)
je vlastně matice
(1, 0)
(0, 1)

- měli bychom dostat zobrazení, které splňuje
f (?, ?) = (1, 0)
f (?, ?) = (0, 1)

nebo

A . (?) = (1) a současně A . (?) = (0)
(?) (0) (?) (1)

- ve výsledku bychom měli řešit maticovou rovnici
A * B = C
pro neznámou matici A,

kterou lze vypočítat pomocí transponovaných matic,

B,T * A,T = C,T,

zapsat do matice ( B,T | C,T)
a řádkovými úpravami udělat z B,T jednotkovou matici a v pravé polovině pak získat A,T.

Mohl bych poprosit o pomoc? Hlavně mi není jasné to zadání vektorů souměrných podle osy 1.kvadrntu.

RadekHampl · 06. 11. 2014 12:41

No pokud dobře chápu zadání, pak vektory jsou souměrné podle osy 1. a 3. kvadrantu pokud mají "prohozeny" souřadnice. Takže vektor (a, b) je osově souměrný podle osy 1. a 3. kvadrantu s vektorem (b, a). Je úplně jedno, jestli vektory zapíšeme v řádkovém tvaru, nebo sloupcovém tvaru (jde jen o to, aby to šlo maticově pronásobit).

Takže hledáme matici, která "prohodí" souřadnice vektoru. Takovou maticí je {(0, 1); (1, 0)}, protože platí:

(0 1) (x) (y)
(1 0) * (y) = (x)

pokud bys měl řádkový tvar vektorů, matice A musí být v součinu za vektorem (v maticovém počtu není násobení komutativní operace):

(x, y) * (0, 1) = (y, x)
(1, 0)

Vypočítat to můžeš v podstatě tak, že prvky matice označíš třeba a, b, c, d a pak řešíš rovnice:
(a b) (x) (y)
(c d) * (y) = (x)
--------------------
ax + by = y
cx + dy = x

a aby ti x v první rovnici vypadlo, musí být a=0 a pak b = 1 a ze druhé c = 1 a d = 0.

Snad ti to pomůže...

Argcotgh x · 06. 11. 2014 16:32

Ahoj, dík za pomoc a za nápad.

Takže v zadání jsou tedy vektory

A . (x) a (x)
(y) (y)

tudíž by A měla být matice, která udělá

z vektoru (x) vektor (y)
(y) (x)

resp. z matice

(1, 0) (0, 1)
(0, 1) matici (1, 0)

tedy

A . (1, 0) = (0, 1)
(0, 1) = (1, 0)

to můžeme zapsat jako
A . B = C

a neznámou matici A získáme pomocí

A . B = C <=> B,T . A,T = C,T

tedy

(1, 0 | 0, 1)
(0, 1 | 1, 0)

i bez úprav máme hned nalevo jednotkovou matici a napravo transponovanou hledanou matici A,T

a protože

A,T = (0, 1) je A = (taky) (0, 1)
(1, 0) (1, 0).

Hledanou maticí A je tedy skutečně (0, 1)
(1, 0).

Fakt díky moc.

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2014 15:39

Nalezení neznámé matice lineárního zobrazení

#2 06. 11. 2014 12:41

Re: Nalezení neznámé matice lineárního zobrazení

#3 06. 11. 2014 16:32

Re: Nalezení neznámé matice lineárního zobrazení

Zápatí