Matematické Fórum

alfacentauri · 30. 11. 2014 18:38

Ahoj,
jak dokážu, že platí $4|\binom{2n}{n}\wedge n\neq 2^{a},a\in \mathbb{N}$
(4 dělí kombinační číslo)
Předem díky

smajdalf · 30. 11. 2014 22:03

No, nevím jestli to bude správně, ale zkusme:

Rozepíšeme $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n! \cdot (2n-n)!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$
Teď si budeme všímat pouze čitatele: $(2n)!$
Ze zadání plyne, že $n$ mají být lichá (tedy pokud předpokládáme, že $n \in \mathbb{N}$ ,
ale nedovedu si představit, jak by se to dokazovalo pro $n \in \mathbb{R}$ ).
Problém bude akorát s $n = 1$ , pro které to neplatí, protože vyjde 2 a ta rozhodně dělitelná
4 není.
Ale od $n = 3, 5, \ldots$ je to jasné, protože (L=liché číslo, S=sudé) $(2L)!=S!$ , protože
dvojka je sudá krát liché číslo je vždy sudé (a to je dělitelné dvěma!).
Po vydělení dvěma jsou dvě možnosti $\frac{S}{2}=S$ nebo $\frac{S}{2}=L$ (např. $\frac{8}{2}=4$
a $\frac{14}{2}=7$ ).
No tak prošetříme obě možnosti, ale protože fatoriál je vždy sudý, tak: $(2L)!=\frac{S}{2}!=S!=S$
a zrovna tak: $(2L)!=\frac{S}{2}!=L!=S$ .
No ale opět nám vyšlo sudé číslo a to je dělitelné dvěma!

Takže původní čitatel je dělitelný dvakrát dvěma tedy čtyřmi.

Jak říkám, problém je akorát s tím $n = 1$ .

Možná někdo přijde na lepší způsob.

alfacentauri · 30. 11. 2014 22:13

Díky za příspěvek. Zítra se na to kouknu. Jinak n nemusí být lichá, jenom to nesmí být mocniny 2. Pro 6 je to $\binom{12}{6}=924$ a $4|924$

smajdalf · 30. 11. 2014 22:49

↑ alfacentauri:

Jo, vidíš, to je tak, když u toho člověk napůl spí.

V tom případě by to šlo jednodušeji, ovšem problém s $n=1$ zůstává.

Pro $n = 3, 5, 6, 7, 9 \ldots$ je čitatel $(2n)!$ větší nebo roven $6!$ , a podle definice
faktoriálu musí každé číslo větší nebo rovno $6!$ obsahovat 4-ku -> $6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$ ,
samozřejmě opět jen v případě, že $n \in \mathbb{N}$ .
A protože 4 je v součinu, pak celý čitatel půjde krátit 4-mi.

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2014 18:38

kombinační číslo

#2 30. 11. 2014 22:03

Re: kombinační číslo

#3 30. 11. 2014 22:13

Re: kombinační číslo

#4 30. 11. 2014 22:49

Re: kombinační číslo

Zápatí