Matematické Fórum

check_drummer · 06. 12. 2014 13:14

Ahoj,
hledám řešení f(x,y) (f je tedy funkce dvou reálných proměnných x,y) parciální diferenciální rovnice df/dx+df/dy=0 a našel jsem možná řešení tvaru $f(x,y)=\sum{a_n.(x-y)^n}$ pro libovolné hodnoty $a_n$ . Zajímalo by mě, zda jsou tímto vyčerpána všechna řešení této rovnice.
Děkuji za příspěvky.

Rumburak

↑ check_drummer:

Ahoj.

S těmi "libovolnými hodnotami $a_n$ " bych byl opatrný, pokud by mělo jít o nekonečnou řadu.

Zkusme Fourierovu metodu.

1) Nejprve hledáme "pracovní" řešení ve tvaru $[x, y] \mapsto X(x) Y(y)$ . Dosazením do dané rovnice dostáváme

(1) $X'Y + XY' = 0$ .

Má-li jít o netriviální řešení, pak v okolí některého bodu $[r, s]$ lze rovnici (1) vydělit nenulovým součinem $XY$ ,
čímž po další jednoduché úpravě obdržíme

(2) $\frac{X'}{X} = - \frac{Y'}{Y} = \lambda$ .

pro vhodné $\lambda$ . V případě $\lambda = 0$ budeme mít konstantní řešení $X=A, Y=B$ , jinak z (2) plyne

$X(x) = A \mathrm{e}^{\lambda x} , Y(y) = B \mathrm{e}^{-\lambda y}$ ,

kde $A, B$ jsou libovolné (za uvedených předpokladů nenulové) konstanty, tedy

(3) $X(x)Y(y) = C \mathrm{e}^{\lambda (x-y)}$ , kde $C = AB$ .

2) Z funkcí tvaru (3) můžeme sestrojit jinak libovolné lineární kombinace a obdržíme tak mnoho dalších řešení
dané PDR.

3) Je-li $t \mapsto g(t)$ funkce mající (na určitém ot. intervalu) derivaci, co můžeme říci o funkci $f(x,y) := g(x-y)$ ?
Bude-li funkce $g$ součtem své Maclaurinovy řady, pak funkce $f$ bude mít tvar Tvé summy.
Ale co když $g$ nebude tento přadpoklad splňovat ? Např. když nebude mít derivace všech řádů ?

Jj · 08. 12. 2014 14:07

↑ Rumburak:

Zdravím. Jen tak podle intuice - řekl bych, že řešení kolegy ↑ check_drummer: zahrnuje i všechna Vámi uvedená řešení.

$f(x,y)=\sum{a_n.(x-y)^n}$ pro libovolné hodnoty $a_n$ podle mě zahrnuje všechna řešení tvaru f(x,y) = F(x-y).

Rumburak

↑ Jj:

Pravdaže, na Taylorův rozvoj jsem si nevzpomněl. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2014 13:14

Jednoduchá parciální diferenciální rovnice

#2 08. 12. 2014 13:58 — Editoval Rumburak (08. 12. 2014 15:16)

Re: Jednoduchá parciální diferenciální rovnice

#3 08. 12. 2014 14:07

Re: Jednoduchá parciální diferenciální rovnice

#4 08. 12. 2014 14:17 — Editoval Rumburak (08. 12. 2014 14:18)

Re: Jednoduchá parciální diferenciální rovnice

Zápatí