Matematické Fórum

kafe_arabica · 10. 12. 2014 18:31

Ahoj.

Majme priestor $X$ (množinu alebo topologický priestor) a jeho grupu automorfizmov $Aut(X)=:G$ . Podobne, $Y$ a $H$ . Ak existuje izomorfizmus priestorov $f:X\to Y$ (v zmysle bijekcie alebo homeomorfizmu), môžeme skonštuovať izomorfizmus príslušných grúp automorfizmov; $\Phi:G\to H$ , $\Phi(g)=f^{-1}\circ g \circ f$ .
Dá sa táto konštrukcia obrátiť? Tzn., ak poznáme izomorfizmus grúp, môžeme skonštruovať izomorfizmus priestorov?
Ide to v nejakých špeciálnych prípadoch, napr. ak ide o nejaké variety (ľubovolného rozmeru)? Resp. dá sa takýto morfizmus skonštruovať, ak pridáme nejaké ďalšie predpoklady. Tým myslím, že by nešlo len o izomorfizmus grúp ale napríklad aj o homológie a iné invarianty?

OiBobik · 10. 12. 2014 20:25

↑ kafe_arabica:

Ahoj,

tohle je taková neodpověď, ale tak budiž.

Co se množin týče:

Nejprve konečné množiny. Tam to platí s jedinou výjimkou, a sice $|Aut(\emptyset)|=1=|Aut(\{\emptyset\})|$ . Nicméně dál už je to ok, pro $X$ konečnou neprázdnou množinus $|X|=k$ je $Aut(X)\simeq S_k$ , tedy $|Aut(X)|=k!$ , přitom $k \neq l \Rightarrow k! \neq l!$ , JInak řečeno: Bijekce / isomorfismus na automorfismech ti stačí k tomu, rozeznat, zda existuje bijekce na původních množinách.

Nekonečné množiny: Tady nevím, ale tipl bych si, že to nebude rozhodnutelné v ZFC.

Co se topologických prostorů týče:
Tam to určitě neprojde. Např. $S=\{0, 1\},$ kde otevřené množiny jsou $\emptyset, \{0\}, \{0,1\}$ má automorfsmus jediný, a sice identitu. Totéž ovšem platí i pro jednoprvkový topologický prostor, a tyto dva určitě nejsou homeomorfní.

Ohledně těch dalších invariantů, to taky moc nevím, ale přijde mi to dost nepravděpodobné (už jen proto, že homotopie a homologie zachovávají informaci jen o "pěkných", tj. křivkově souvislých, částech prostorů; tj. když se budu bavit o prostorech, kde např. každé spojité zobrazení z intervalu je konstantní, moc homotopií tam nevykouzlím). Spíš asi je lepší snaha se omezit např. na ty topologické variety. K tomu taky nevím nic moc, ale možná by tě mohl zajímat pojem "rigid topological spaces", tak na to aspoň dávám odkaz.

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2014 18:31

Izomorfizumus grúp automorfizmov

#2 10. 12. 2014 20:25

Re: Izomorfizumus grúp automorfizmov

Zápatí