Matematické Fórum

Redstar · 13. 12. 2014 10:52

Zdravím, měl bych pár příkladů u kterých potřebuji pomoci nebo si jen ověřit, že je to správně:

1. $x^{2}+y^{2}\le 1 /z=0/z=4-y$ zadání příkladu

Provedl jsem transformaci do polárních souřadnici a vyhodnotil tyto meze. (Jsou v pořádku?)

$0\le \varrho \le 1 / 0\le \varphi \le 2\pi /0\le z\le 4-\varrho sin\varphi$

2. $[0;0],[1;0],[0;3]$

$0\le x\le 3/0\le y\le 3x-3$

3.Tady si nevím rady odkud vede Z
$Z=4-x^{2}/x+y=2$
čili meze jsem udělal: $0\le x\le 2/0\le y\le 2-x/?\le z\le 4-x^{2}$

Děkuju za jakoukoliv radu. Hlavně s tím Z v posledním příkladě bych potřeboval poradit.

Argcotgh x · 13. 12. 2014 11:25

ad 1) meze ró a fí myslím v pořádku, se z si nejsem jistý. Po transformaci souřadnic nezapomeň přidat do integrandu jakobián.

jelena · 13. 12. 2014 13:26

Zdravím,

↑ Redstar: nedávej, prosím, do tématu více dotazu viz pravidla (pokud to není jen ukázka úloh a potřebuješ např. odkaz na studijní materiál).

1. mi vyšla stejně, jen to jsou souřadnice válcové,
2. pokud je úloha v rovině, potom je zadán pravoúhlý trojúhelník (meze ovšem nejsou dobře, zkus ho pořádně nakreslit), v prostoru by to zadávalo nekonečny hranol s trojúhelníkovou podstavou (tak se ještě podívej na zadání)
3. tam není ani jasné, kam vede z (bude lepší nový dotaz, kompletní zadání + jednotlivé řádky pro podmínky od sebe oddělit (jinak Tvůj zápis spíš vypadá jako zlomek $4-x^{2}/x+y$ s "nejasným" jmenovatelem.

Děkuji.

Redstar · 13. 12. 2014 13:56

↑ jelena:

Zdravím, tak to se omlouvám, je to už nějaký ten pátek co sem tady vůbec něco psal. Přišlo mi to logické když jde o stejnou věc :-). No nicméně mám to nechat už tak nebo rozdělit ?

1. Ano válcové souřadnice, nemohl jsem si vzpomenou, každopádně jsem rád, že se chápeme :-)
2. Jedná se o Dvojný integrál v obecné oblasti (nikoliv trojný, chyba zápisu), otázkou tedy víceméně je, jen jestli je dobře napsaný ten směrnicový tvar přímky ? Dá se na něj přijít jednodušší metodou nebo nutně pomocí tohoto vzorce

$k=\frac{y2-y1}{x2-x1} ?$

A otázkou je, který bod je pro mě 1 a který 2 ? Záleží na pořadí nebo to výjde stejně ?

3. K tomu tedy vytvořím zvlášť topic.

Děkuju za pomoc.

Argcotgh x · 13. 12. 2014 14:15

ad 2)

řekl bych, že x jde od 0 do 1 a ypsilon od 0 do (-3x+3) - oblast shora ohraničuje přímka y = - 3x + 3
(lze spočítat jednoduše ze 2 bodů, tj. [0;3] a [1;0]

Pak by to mělo vyjít

∫ (od 0 do 1) ∫ (od 0 do -3x+3) dy dx = ∫ (od 0 do 1) -3x + 3 dx = [-3/2 x^2 + 3x] (od 0 do 1) =

= -3/2 + 3 - 0 + 0 = 3 - 3/2 = 3/2

Když se to tak ale vezme, tak to lze spočítat triviální geometrickou úvahou, zcela bez integrálů: ty 3 body ohraničují pravoúhlý trojúhelník a jeho obsah je 1/2*a*b = 1/2 * 1 * 3 = 3/2.

jelena · 13. 12. 2014 15:15

↑ Redstar:

děkuji, určitě nové téma bude přehledné. Předpis lineární funkce můžeš spočítat každou metodou - kolega ↑ Argcotgh x: navrhuje pravděpodobně řešení soustavy rovnic $y=ax+b$ s využitím 2 zadaných bodů. Směrnice bude vycházet, pokud odpovídajícím y budou souhlasit jejich x (ne přehozené), spíš z praktického hlediska bereme indexy pro x zleva napravo po číselné ose, k tomu přiřadíme odpovídající y.

↑ Argcotgh x: ano, děkuji, geometrická interpretace je dobrá kontrola, děkuji, jen by kolega mohl upřesnit, co v zadání

Jedná se o Dvojný integrál v obecné oblasti

znamená "obecná oblast" + zda je požadavkem výpočet obsahu obrazce vymezeného body, nebo něco jiného.

Argcotgh x · 13. 12. 2014 15:36

Abych pravdu řekl, rovnici přímky ze 2 bodů počítám pomocí determinantu:

| x1, y1, 1 |
| x2, y2, 1 | = 0
| x, y, 1|

Kde se dosadí A (x1, y1) a B (x2, y2), x,y se při výpočtu berou jako "symboly". Determinant jednoduše podle Sarrusova pravidla.

Možná to vypadá, že "beru kanón na vrabce", ale přijde mi to skoro jednodušší než se párat s normálovými vektory apod.

Redstar · 14. 12. 2014 12:06

↑ jelena:

Děkuji moc za radu. S integrály už nemívám problém. Ano jedna se o výpočet obsahu. Snažím se pouze dobře zjišťovat meze. Bez nich totiž nejede vlak, že ano :-). Takže jestli to chápu dobře, tak je jedno jestli dosadím do vzorce

za $[x_{1},y_{1}]$ bod $[1,0] nebo [0,3]$

Hlavní je tedy, aby zůstaly x odpovídaly jejich y.

jelena · 14. 12. 2014 17:20

↑ Redstar:

Hlavní je tedy, aby zůstaly x odpovídaly jejich y.

ano, je to jedno, důležité nepřehodit jednotlivé souřadnice u bodů. Jinak osobně bych volila cestu ZŠ, zapíšu, že přímka bude ve tvaru $y=ax+b$ a jednou za x, y dosadím bod $[1,0]$ , potom $[0,3]$ a najdu neznámé a, b (je to někde na konci sbírky Bělouna).

Zbytek je asi vyřešen.

Redstar · 14. 12. 2014 17:22

Jasně, chápu, děkuju moc.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2014 10:52

Meze trojného integrálu

#2 13. 12. 2014 11:25

Re: Meze trojného integrálu

#3 13. 12. 2014 13:26

Re: Meze trojného integrálu

#4 13. 12. 2014 13:56

Re: Meze trojného integrálu

#5 13. 12. 2014 14:15

Re: Meze trojného integrálu

#6 13. 12. 2014 15:15

Re: Meze trojného integrálu

#7 13. 12. 2014 15:36

Re: Meze trojného integrálu

#8 14. 12. 2014 12:06

Re: Meze trojného integrálu

#9 14. 12. 2014 17:20

Re: Meze trojného integrálu

#10 14. 12. 2014 17:22

Re: Meze trojného integrálu

Zápatí