Matematické Fórum

blak · 21. 12. 2014 17:39

Hoj, věděl by někdo o programu podobně jako je MAW, mathway, wolframalpha. Který by dokázal spočítat lagrangeovi multiplikátory (s postupem nebo bez). Já je počítám, ale tím jak už nemám správné výsledky tak zrovna u tohohle nevím, jestli jsem to spočítal správně nebo špatně, když vyjdou des. čísla.

blak · 21. 12. 2014 20:23 — Editoval jelena (20. 01. 2015 22:44)

Ještě to doplním o příklad, který mi vrtá hlavou a nedaří se spočítat.

$x^{2}+y^{2}+z^{2}$
vazba č1. $x^{2}+y^{2}=10$
vazba č.2 $x+3y-5z=0$

Edit: podrobné řešení od kolegy Rumburaka Odkaz

provedl jsem derivace s úpravou lambd na:
$x=\frac{-\lambda_{2}}{2(1+\lambda _{1})}$
$y=\frac{-3\lambda_{2}}{2(1+\lambda _{1})}$
$z=\frac{5\lambda_{2}}{2}$

Mě to stále vychází, že $\lambda _{2}^{2}=4+4\lambda _{1}^{2}$
což je $\lambda _{2}=+- 2(1+\lambda _{1})$

a pak mi z toho vyjde že $x=+-1$ $y=+-1,5$
a $z$ dopočítám z vazby č.2 tj. $z=+-0,7$

Problém je, že to takhle vyjít nemá, ale nevím, kde je chyba :(

Eratosthenes · 22. 12. 2014 10:40

ahoj ↑ blak:,

a kde jsi přišel na to, že

$\lambda _{2}^{2}=4+4\lambda _{1}^{2} \Rightarrow \lambda _{2}=\pm 2(1+\lambda _{1})$ ?

Jj · 22. 12. 2014 12:10

↑ blak:

Dobrý den.

Taky bych řekl, že chyba je až při výpočtu multiplikátorů.

Pokud stačí kontrolní výpočet vázaného extrému bez postupu - tak to WA umí: Odkaz

blak · 22. 12. 2014 12:46 — Editoval blak (22. 12. 2014 19:04)

↑ Eratosthenes:
No odmocnil jsem výraz vpravo, abych získal $\lambda _{2}$ samotnout. Což ale znamená, že jsem to odmocnil špatně. Jak by vypadalo správné odmocnění ?

↑ Jj:

Aha, já zkoušel WA, ale psal jsem tam "lambda" a to mi neschroustal. Je program co umí i postup ?

Popř. mohl by mi zde někdo uvést daný postup vyjádření $\lambda _{1}$ a $\lambda _{2}$ v zadaném příkladu, já se s tou odmocninou nedokážu hnout :(

Jj · 22. 12. 2014 14:50

blak napsal(a):
Aha, já zkoušel WA, ale psal jsem tam "lambda" a to mi neschroustal. Je program co umí i postup ?

O podobných programech nemám přehled.

jelena · 23. 12. 2014 00:07 — Editoval jelena (20. 01. 2015 22:39)

Zdravím,

ohledně "programu s postupem" (předpokládám, že rovnou k použití, bez většího zásahu uživatele) přesunu do sekce CAS (řekla bych, že kontrola WA může být dostačující).

Ohledně odmocnění $\lambda _{2}^{2}=4+4\lambda _{1}^{2}$ platí $\lambda _{2}=\pm 2\sqrt{1+\lambda _{1}^{2}}$ , ale nekontrolovala jsem, zda se k tomuto šlo dobře. Jelikož ohledně samotné úlohy bych 1. vazbu $x^{2}+y^{2}=10$ dosadila do předpisu funkce $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ a do Lagrange bych použila jen druhou vazbu (edit: dosazovat se může, ale počet vazeb musí zůstat zachován Odkaz). Může být? Děkuji.

blak · 23. 12. 2014 20:03

Tedy, já ani netušil, že vazba se dá nějak dosadit do zadání a následně si vybrat i jednu ze dvou vazeb pro Lagrage.

jelena · 26. 12. 2014 11:22

blak napsal(a):
Tedy, já ani netušil,

"There are more things in heaven and earth, Horatio, ..." (c)

Zkus si uvědomit, co znamená vyšetření extrému funkce vice proměnných na zadané vazbě (i včetně geometrické interpretace) - bude jasné. Samozřejmě, pokud je úloha na procvičení metodiky LM na více vazeb a více lambd, tak dosazování spíš použiješ jako kontrolní metodu.

Je dořešeno? Děkuji.

blak · 16. 01. 2015 23:22

Dořešeno není, musel jsem od toho na několik dní ustoupit, ale vypadá to, že LM je snad dělaný, aby se v něm člověk ztratil. Někde dělám chybu a proto mi to nevychází, zkusím to ještě párkrát spočítat a dám sem svůj postup, třeba zde tvé bystré oko hned uvidí v čem opakuji chybu. A začínám si i myslet, že jsou 3 -4 typy výpočtů, jedno, kdy si vyjádřím Lambdu u dvou ze tří rovnic a dosadím do zadání a tím získám jednu proměnou. Další, kde si vyjádřím x,y,z pomocí Lambd. Pak rovnice od sebe odečtu a pak je jedna, která mi stále uniká, protože koukám hodinu na zadání a nemyslím si, že se dá něčím vůbec něco vyjádřit. TO je následující zadání, kde nejde nic vyjádřit:

$x^{2}+yz$
g1: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$
g2: $x=y^{2}+z^{2}$

Jediné k čemu jsem se dostal bylo rozepsání rovnic:

x: $2x+2x\lambda +\lambda _{2}$
y: $z+2y\lambda -2y\lambda _{2}$
z: $y+2z\lambda -2z\lambda _{2}$

jelena · 16. 01. 2015 23:54

↑ blak:

Také pozdrav,

Jediné k čemu jsem se dostal bylo rozepsání rovnic:

rovnice je od "rovná se", to chybí.
$2x+2x\lambda +\lambda _{2}=0$
$z+2y\lambda -2y\lambda _{2}=0$ odsud $z=-2y(\lambda-\lambda _{2})$ (2)
$y+2z\lambda -2z\lambda _{2}=0$ odsud $y=-2z(\lambda -\lambda _{2})$ (3)

(2) s (3) můžeš podělit levé a pravé strany, nebo z (2) vyjádřit $(\lambda-\lambda _{2})$ a dosadit do (3), dostaneš $z^2-y^2=0$
K tomu
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ (4)
$x=y^{2}+z^{2}$ (5)

To už by se mělo podařit, celá (5) jde dosadit do (4) (a to už se dalo i při převodu jen na jednu vazbu).

musel jsem od toho na několik dní ustoupit

tak do toho můžeš opět nastoupit :-)

blak · 17. 01. 2015 14:54

Zdravím,

Tak s Vaší pomocí jsem dopočítal př. ze včera, jen nastíním postup, jestli byl správný, podle výsledký z WA, by měl sedět, ale zda jsem se k němu propracoval správně netuším :)

Ze vztahu $z^{2}=y^{2} \Rightarrow z= \pm y$
Jsem následně odečetl jednu vazbu od druhé a vznikla mi kvadr. rovnice $x^{2}+x-2=0 \Rightarrow x=1 , -2$

z vazby g2: jsem vyjádřil, že $x=2y^{2}$
a dosadil jsem do ní $x=1$ a vyšlo mi $y=\pm \sqrt{0,5}$
následně jsem zadal $x=1$ a $y=\pm \sqrt{0,5}$ do vazby g1: abych získal $z=\pm \sqrt{0,5}$

A zde přikládám odkaz na max. a min. podle WA Odkaz

Byl můj postup správný, nebo jsem na výsledek přišel opět jen čirou náhodou ? :(

jelena · 17. 01. 2015 16:17

↑ blak:

děkuji, mně se to zdá v pořádku (i co do postupu), jen úplně na závěr místo dosazení do vazby g1 lze úsporněji dosadit $y=\pm \sqrt{0,5}$ do vztahu $z^{2}=y^{2} \Rightarrow z= \pm y$ .

blak · 17. 01. 2015 17:59 — Editoval blak (17. 01. 2015 21:28)

jelena napsal(a):
Zdravím,

ohledně "programu s postupem" (předpokládám, že rovnou k použití, bez většího zásahu uživatele) přesunu do sekce CAS (řekla bych, že kontrola WA může být dostačující).

Ohledně odmocnění $\lambda _{2}^{2}=4+4\lambda _{1}^{2}$ platí $\lambda _{2}=\pm 2\sqrt{1+\lambda _{1}^{2}}$ , ale nekontrolovala jsem, zda se k tomuto šlo dobře. Jelikož ohledně samotné úlohy bych 1. vazbu $x^{2}+y^{2}=10$ dosadila do předpisu funkce $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ a do Lagrange bych použila jen druhou vazbu. Může být? Děkuji.

Zkusil jsem znovu první příklad, "můj" postup mě stále dostává do smyčky. Zkusil jsem proto Váš s dosazením první vazby do zadání, nejspíš jsem to udělal špatně.

vzešlo mi zadání $10+z^{2}=0$
podle toho jsem udělal derivace:
x: $\lambda =0$
y: $3\lambda =0$
z: $2z-5\lambda =0$
vazba g2: $x+3y-5z=0$

Ale tam se nedá nic vyjádřit, krom $z=\frac{5\lambda }{2}$ . A to pak už dál nevím co dělat :(

Ještě bych se rád zeptal, je nějaký způsob, jak si ověřit, že dané body jsou správné a jsou oním řešením ?
Následně se marně snažím nalézt odpověď na "Jak vytvořím vazbu pro Lagrange, pokud mám zadané jen body $[1,5], [4,2]$ nebo nerovnosti typu : $-4\le x\le 2 , 6x^{2}+2\le y\le 2-x$ . Protože LM má být univerzální metodou, to je jen zajímavost pro mě, protože každý mi jen odepsal "nezkoumej to a dělej to dosazovací"

Počítal jsem další příklad
$x-2y+3z, g:x^{2}+y^{2}=1,g_{2}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$

pomocí odečtení dvou vazeb jsem zíískal : $z=\pm 1$
následně se vrátil k vyjádřenému $3+2z\lambda _{2}=0$ a zjistil, že $\lambda _{2}=\frac{-3}{2}$
Ale pak mi z vazby g1 vyšlo, že $\lambda _{1}=\pm 1$
Ovšem pak mi nevychází správné $x$ a $y$
Které má být dle řešení $x=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ a $y=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

Ale jak se tam dostala ta odmocnina nechápu, protože v mém postupu jsem dostal to samé, ale bez ní.

jelena · 17. 01. 2015 23:24 — Editoval jelena (18. 01. 2015 00:16)

↑ blak:

1) nevzešlo

$10+z^{2}=0$

vynecháváš v zápisu f(x, y, z)=... Máme:
funkce $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ , vazba $x^{2}+y^{2}=10$ a vazba $x+3y-5z=0$ .
Po dosazení vychází funkce $f(x, y, z)=10+z^{2}$ a druhá vazba $x+3y-5z=0$ , $\lambda =0$ , $z=\frac{5\lambda }{2}=0$ . Potom máme soustavu
$z=0$
$x^{2}+y^{2}=10$
$x+3y-5z=0$
-------------------

2) body $[1,5], [4,2]$ - také bych je dosazovala, ale pokud trváš na Lagrange, tak snad vytvořit předpis vazbových funkcí tak, aby jejich průsečíkem byly pravě takové body? Např. 2 kružnice.

nebo nerovnosti $-4\le x\le 2 , 6x^{2}+2\le y\le 2-x$ . Zde zadáváš oblast, tedy Lagrange vyřešit hranici oblasti a ještě jinou metodou vyšetřit vnitřek oblasti.

K té otázce 2) si založ, prosím, samostatné téma, bude lepší, když na takové dotazy bude odpovídat odborně zdatný kolega, než já.

---------------------------------------------
3) $x-2y+3z$ tak se to nepíše. Má být $f(x,y,z)=x-2y+3z$
mně to vyšlo dle výsledku (pokud jsem neudělala nějakou chybu), $\lambda _{2}=\frac{-3}{2}$ mám také,
potom jsem měla rovnice s vazbou (výsledek po derivování):
$1+2x\lambda_1+2x\lambda_2=0$
$-2+2y\lambda_1+2y\lambda_2=0$

zde jsem dosadila $\lambda _{2}=\frac{-3}{2}$ a použila stejnou techniku jako ↑ příspěvek 11:, tedy jsem $\lambda_1$ nepotřebovala. Dokončila jsem použitím $x^{2}+y^{2}=1$ .

blak · 18. 01. 2015 10:51 — Editoval blak (18. 01. 2015 13:20)

jelena napsal(a):
↑ blak:

1) nevzešlo
$10+z^{2}=0$
vynecháváš v zápisu f(x, y, z)=... Máme:
funkce $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ , vazba $x^{2}+y^{2}=10$ a vazba $x+3y-5z=0$ .
Po dosazení vychází funkce $f(x, y, z)=10+z^{2}$ a druhá vazba $x+3y-5z=0$ , $\lambda =0$ , $z=\frac{5\lambda }{2}=0$ . Potom máme soustavu
$z=0$
$x^{2}+y^{2}=10$
$x+3y-5z=0$
-------------------

Takže i když ze dvou vazeb použiju jednu do zadání, abych měl jen jednu lambdu, tak stále pak v rozvětvení rovnic počítám se dvěma ? Nepočítám pak jen s tou jednou, kterou jsem nepoužil do zadání ?
$z=0$
$x^{2}+y^{2}=10$ s touhle jsem pak už v dalším počítání nepočítal, protože jsem si myslel že použitím, se vyřazuje z výběru.
$x+3y-5z=0$

Když jsem počítal s oběmi vazbami, tak mi vyšlo glob. min. $[3,-1,0]$ a $[-3,1,0]$
Ale jak mám následně přijít na glob. max. které je dle řešení $[-1,-3,2]$ ?

zde jsem dosadila $\lambda _{2}=\frac{-3}{2}$ a použila stejnou techniku jako ↑ příspěvek 11:, tedy jsem $\lambda_1$ nepotřebovala. Dokončila jsem použitím $x^{2}+y^{2}=1$ .

Můžu se zeptat jak jste se mohla obejít bez vyjádření $\lambda_1$ , když právě zadáním do rovnice $x^{2}+y^{2}=1$ $\Rightarrow \frac{1}{4\lambda +9}+\frac{4}{4\lambda +9}=1$ Z toho jde vyjádřit přeci pouze ona $\lambda$

jelena · 18. 01. 2015 13:26 — Editoval jelena (20. 01. 2015 22:41)

↑ blak:

pořád zůstává vztah mezi x, y, $x^{2}+y^{2}=10$ , který se použije pro další výpočty.

Bohužel ale máš pravdu - tou moji metodou se část bodů ztrácí. Ale nevím, v kterém místě úvah by mohla být chyba (edit: odůvodněno zde - dosazovat se může, ale počet vazeb musí zůstat zachován Odkaz). Vazba $x^{2}+y^{2}=10$ a $x+3y-5z=0$ zadávají elipsu, která vznikne řezem nekonečného válce rovinou. Na této elipse hledáme extrémy $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ .

Při užití jedné vazby $x^{2}+y^{2}=10$ k dosazování do $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ (což je množina sfér se středem 0,0,0) bych měla dostat opět nekonečný válec a ten vyšetřuji na extrém na rovině, která ho přetne v elipse. A tak nevím, jak bych zdůvodnila ztrátu bodů. měla jsem za to, že mohu dosazovat vazbu do zadání, nebo vazbu do vazby.

Tak tuto cestu raději zanech a pokračuj vyšetřování před 2 lambdy (tam všechno vychází). Počkám, zda někdo z kolegů nevnese jasno, kde jsem měla chybu v úvaze o dosazování, kolegům děkuji.

blak · 18. 01. 2015 15:29

No, stále lepší mít polovinu bodů za příklad v testu než žádné body, protože s těma dvěma lambdama nedostanu ani jednu část příkladu. Celkově si stejně nědělám naděje, že bych test dal, takže bude opáčko za rok. Vyjde mi tak 1 příklad z 15. A to jsem ani nezačal počítat ty o základu $\mathrm{e}^{}$ nebo $\ln$ , $\log_{}$

jelena · 18. 01. 2015 18:33

↑ blak:

to ne, můj návrh musí být chybný - tedy i polovina bodů získaných nesprávnou metodou nebude správné řešení. Sice pořád si myslím, že bych mohla alespoň spojovat vazby, ale neber na to ohled.

Funkci sestavit umíš, zderivovat také, problém je v samotném řešení soustavy rovnic - to se bohužel vleče odněkud ze SŠ a zde se jen používá. Zkus se možná podívat na přehled metodik - zda např. Jakobiánem bys to neviděl přehlednější (ale je to opět o rovnici - věděl bys však, že potřebuješ rozložit na součin).

blak · 19. 01. 2015 12:28

To pdf jsem si prošel, ale bohužel pro mě, tam není ukázka LM při dvou vazbách, takže když se pak v příkladu jako je ten první, který je naprosto nesmyslný a dohání mě k šílenství, tak se obdobně vyskytují snad ob příklad. Př. $4x+y-2z$
g1: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=54$
g2: $x-y+z=-10$

tedy vznikne:
$4+2x\lambda +\lambda _{2}=0\Rightarrow x=\frac{-4-\lambda _{2}}{2\lambda }$
$1+2y\lambda -\lambda _{2}=0\Rightarrow y=\frac{-1+\lambda _{2}}{2\lambda }$
$-2+2z\lambda +\lambda _{2}=0\Rightarrow z=\frac{2-\lambda _{2}}{2\lambda }$
zadal jsem to do g2 a z toho vzešlo: $\lambda _{2}=20\lambda +1$ , což je mi k ničemu, protože se s tím dál počítat opět nedá a takhle je to u 98% příkladů co se snažím spočítat. Vždy to vyústí ve slepou cestu. Jen se divím, jak někdo dokáže vystudovat obory, které se na tomhle zakládají a nezcvoknout se.

jelena · 19. 01. 2015 13:06 — Editoval jelena (20. 01. 2015 22:43)

↑ blak:

Zdravím,

$\lambda _{2}=20\lambda +1$ můžeš dosadit do třech posledních rovnic (kde je vyjádření x, y, z), potom x, y, z jsou závislé jen na $\lambda$ a to půjde dosadit do $x^{2}+y^{2}+z^{2}=54$ (při trošce úprav vznikne kvadratická rovnice, najdeš $\lambda$ ).

Nebo dosadit $\lambda _{2}=20\lambda +1$ do rovnic:
$4+2x\lambda +\lambda _{2}=0$ (3)
$1+2y\lambda -\lambda _{2}=0$ (4)
$-2+2z\lambda +\lambda _{2}=0$ (5)

Potom po vyjádření $\lambda$ půjde opět použit poměry, jak jsme dělali v předchozích soustavách.

-----------------
Možna bych zkusila i tak: celá soustava je:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=54$ (1)
$x-y+z=-10$ (2)
$4+2x\lambda +\lambda _{2}=0$ (3)
$1+2y\lambda -\lambda _{2}=0$ (4)
$-2+2z\lambda +\lambda _{2}=0$ (5)
-----------------------
zkontroluji počty neznámých (mám 5 rovnic, 5 neznámých), vidím, že $\lambda_2$ je osamostatněna v (3), (4), (5), tedy sečtením (3) a (4), (4)a(5), (3)a(5) (případně s vhodným vynásobením) "vyruším" $\lambda_2$ , zkus se podívat, zda to není pohodlnější. Ale Tvé rozpracování je také použitelné.

Na samotnou soustavu se ještě později podívat, také doufám, že se mi dostane kritiky v metodě dosazování vazby od odborně zdatného kolegy, již teď děkuji. (edit: kritiky se dostalo + podrobné řešení Odkaz)

blak · 19. 01. 2015 13:38 — Editoval blak (19. 01. 2015 13:46)

Dobře i přez počáteční rozpaky, že by mi nemělo vyjít $\lambda _{2}=20\lambda +1$ a s ním dál počítat, jsem to tedy udělal a vyšlo mi $\lambda =-0,1$
z toho následně $x=15$ $y=10$ $z=-15$
To bylo při dosazení do vazby g2. Při dosazení do g1 mi vyjde pod odmocninou záporné číslo $984\lambda ^{2}=-26$
Což jsou krásná celá čísla, problém je, že to nejsou ty, která mají vyjí správně tedy : $(-7,2,-1)=min$ a $\frac{1}{3}(1,14,-17)$

jelena · 19. 01. 2015 14:04

↑ blak:

já mám tuším jinak počáteční rozpaky:
pokud dosadím x, y, z (které mi vyšlo stejně) do $x-y+z=-10$ , tak
$\frac{-4-\lambda _{2}}{2\lambda }-\frac{-1+\lambda _{2}}{2\lambda }+\frac{2-\lambda _{2}}{2\lambda }=-10$ , a tak $-4-\lambda _{2}+1-\lambda _{2}+2-\lambda _{2}=-20\lambda$ . Jak to vypadá? Děkuji.

blak · 19. 01. 2015 14:10 — Editoval blak (19. 01. 2015 14:24)

A sakra, já to zapomněl vydělit 3 a navíc tam pak má být -1 a ne +1 :(
Tedy to bude $\lambda _{2}=\frac{20\lambda -1}{3}$
Při počítání s touhle lambdou jsem se po dosazení do g2 dostal na $\frac{\frac{-11-20\lambda }{3}}{2\lambda }+\frac{\frac{4-20\lambda }{3}}{2\lambda }+\frac{\frac{7-20\lambda }{3}}{2\lambda }=-10\Rightarrow 60\lambda =-60\lambda \Rightarrow 0=0$

jelena · 19. 01. 2015 14:32

↑ blak:

ach jo. $\lambda _{2}=\frac{20\lambda -1}{3}$ máš dosazovat do
$x=\frac{-4-\lambda _{2}}{2\lambda }$
$y=\frac{-1+\lambda _{2}}{2\lambda }$
$z=\frac{2-\lambda _{2}}{2\lambda }$

a potom všechno do g(1) $x^{2}+y^{2}+z^{2}=54$

Když budeš upravovat, tak se objeví $\frac{1}{\lambda}$ , doporucuji substituci $\frac{1}{\lambda}=t$ .

Matematické Fórum

#1 21. 12. 2014 17:39

Lagrangeovi multiplikátory

#2 21. 12. 2014 20:23 — Editoval jelena (20. 01. 2015 22:44)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#3 22. 12. 2014 10:40

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#4 22. 12. 2014 12:10

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#5 22. 12. 2014 12:46 — Editoval blak (22. 12. 2014 19:04)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#6 22. 12. 2014 14:50

Re: Lagrangeovi multiplikátory

blak napsal(a):

#7 23. 12. 2014 00:07 — Editoval jelena (20. 01. 2015 22:39)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#8 23. 12. 2014 20:03

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#9 26. 12. 2014 11:22

Re: Lagrangeovi multiplikátory

blak napsal(a):

#10 16. 01. 2015 23:22

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#11 16. 01. 2015 23:54

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#12 17. 01. 2015 14:54

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#13 17. 01. 2015 16:17

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#14 17. 01. 2015 17:59 — Editoval blak (17. 01. 2015 21:28)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

jelena napsal(a):

#15 17. 01. 2015 23:24 — Editoval jelena (18. 01. 2015 00:16)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#16 18. 01. 2015 10:51 — Editoval blak (18. 01. 2015 13:20)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

jelena napsal(a):

#17 18. 01. 2015 13:26 — Editoval jelena (20. 01. 2015 22:41)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#18 18. 01. 2015 15:29

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#19 18. 01. 2015 18:33

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#20 19. 01. 2015 12:28

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#21 19. 01. 2015 13:06 — Editoval jelena (20. 01. 2015 22:43)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#22 19. 01. 2015 13:38 — Editoval blak (19. 01. 2015 13:46)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#23 19. 01. 2015 14:04

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#24 19. 01. 2015 14:10 — Editoval blak (19. 01. 2015 14:24)

Re: Lagrangeovi multiplikátory

#25 19. 01. 2015 14:32

Re: Lagrangeovi multiplikátory

Zápatí