Matematické Fórum

vercik41 · 01. 01. 2015 20:52

Dobrý den, chtěla bych Vás poprosit o kontrolu dvou příkladů a se třetím pomoci řešit.

1) Náhodná veličina X má zadanou distribuční funkci F(x). Určete pravděpodobnostní funkci a pravděpodobnosti.
x 0 1 2 3 4 5
F(x) 0,1 0,25 0,3 0,45 0,8 1

P(2<x $\le$ 4); P(x>1); P(x=3)

Nejprve jsem dopočítala P(x) v té tabulce a pak dopočítala pravděpodobnosti.
P(x) 0,1 0,15 0,05 0,15 0,35 0,2
P(x=3) = P(3) = 0,15
P(x>1) = 1-P(x<1) = 1-P(x=0) = 1-0,1= 0,9
P(2<x $\le$ 4) = P(3)+P(4) = 0,15 + 0,35 = 0,50

2) Náhodná veličina má hustotu pravděpodobnosti f(x)=1/x pro x $\in$ (1,e). Určete distribuční funkci náhodné veličiny X. Určete pravděpodobnost P(2<X<2.5).

Funkci jsem integrovala a vyšlo mi ln $|x|$ +c
F(1) = ln 1 + c $\Rightarrow$ c=0
F(e) = ln e + c $\Rightarrow$ c=1
F(x) = 1-0= 1
P(2<X<2.5) = F(2,5) - F(2) = ln 2,5 + 1 - ln 2 + 1 = 3,6094

3) f(x)=1/x je hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Určete střední hodnotu, koeficient špičatosti a horní kvartil.

S tímto příkladem si bohužel vůbec nevím rady, takže budu ráda za jakoukoliv radu. Mockrát děkuji

Jj · 01. 01. 2015 22:08 — Editoval Jj (02. 01. 2015 10:04)

↑ vercik41:

Dobrý večer.

Řekl bych, že v 1. příkladě se svým postupem sice dostanete k řešení, ale postup není 'technicky' správný.
Vyjděte z definice a účelu distribuční funkce: $F(x) = P(X\le x)\Rightarrow$

$P(2< X\le 4)=F(4)-F(2)$
$P(X>1) = 1-P(X\le1)=1-F(1)$
$P(X=3) = F(3)-F(2)$
(pokud jsem se překlepl, tak si to, prosím, opravte).

U 2. příkladu je zadána přímo frekvenční funkce (hustota pravděpodobnosti) v intervalu <1,e>.
Pro kontrulu musí být určitý integrál z této funkce v uvedeném intervalu = 1 (což zřejmě je).

Pak distribuční funkci určíte přímo integrací $F(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}=\left[\ln|t|\right]_1^x=\ln x$
(a už tam necvičíte s integrační konstantou - v určitém integrálu se "vyruší").

Takže $P(2<X<2.5) = F(2.5) - F(2) = \cdots$ (Vaše původní hodnota 3,6094 je nemožná, pravděpodobnost
je reálné číslo v intervalu <0,1> !!).

Část odpovědi (3. příklad) je plná chyb a proto skryta - viz kolega ↑ Jozef3:.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

To dáte.

Jozef3 · 02. 01. 2015 09:33

↑ Jj:
Vaše řešení třetího příkladu není správné, musím Vás opravit. Předně musí být f(x) definována na intervalu <1,e> (neboť integrál $\int_{0}^{e}\frac{1}{x} dx$ diverguje a integrál z hustoty musí být vždy jedna). Co se týče té střední hodnoty, tak ta je definována jako $EX = \int_{1}^{e} x\cdot f(x)dx$ , tedy v tomto případě $EX = \int_{1}^{e} 1 dx$ .

Jj · 02. 01. 2015 10:06

Zdravím ↑ Jozef3:

A jejej - u toho 3. příkladu jsem už asi spal. Díky za uvedení na pravou míru.

vercik41 · 02. 01. 2015 12:09

↑ Jj:
Děkuji za rady, ty dva první příklady jsem už do kupy dala, snad dobře :) ale nad tím posledním pořád dumám.
Z výpočtu té střední hodnoty $E(X) = \int_{1}^{e}1dx$ mi výjde x? Omlouvám se, že se ptám tak blbě, ale už je to dlouho co jsem měla matematiku a integrály. A dál potřebuji asi prosím nakopnout.

Jj · 02. 01. 2015 12:24 — Editoval Jj (02. 01. 2015 12:28)

↑ vercik41:

Ano, neurčitý integrál $\int 1\,dx = x + C$ , takže střední hodnota

$E(X) = \int_{1}^{e}1\,dx=[x]_{1}^{e}=e-1$

Doufám, že jsem zase něco nezoral.

vercik41 napsal(a):
... ale už je to dlouho co jsem měla matematiku a integrály ...

Tak se klidně ptejte.

vercik41 · 02. 01. 2015 13:15

↑ Jj:
Vzorec pro špičatost je $\gamma _{2}(X)=\mu _{4}(U)-3=\frac{\mu _{4}(X)}{[\sqrt{D(X)}]^{4}}-3$ což nejprve vypočítám centrální moment $\mu (X)=\int_{1}^{e}[x-(e-1)]^{4}\cdot \frac{1}{x}dx$ a rozptyl $D (X)=\int_{1}^{e}[x-(e-1)]^{2}\cdot \frac{1}{x}dx$ . Je to tak prosím nebo je to úplný nesmysl? :-)