Matematické Fórum

↑ vercicak:

Ahoj.  Dokážeš to tím,  že si připomeneš obecné vlastnosti grupy (jsou vyjádřeny jako axiomy grupy) a ověříš,
že množina oněch permutací opatřená operací skládání takové vlastnosti  má.


Toto    je výčet prvků uvažované množiny
a nikoliv výčet jejích podgrup.

Pozdravujem ↑ Rumburak:, ↑ vercicak:
Kolegina pouziva velmi nepresny ( chybny) zapis.
Treba si uvedomit, ze jedna permutacia z grupy je bijekcia na
.
A tak treba nejako oznacit tvoje bijekcie.
Napr taka ze .
taka ze

atd...( je ich 6, vyjadri ich vsetki)
(su mozne aj ine oznacenia)

A na koniec over ze tieto bijekcie tvoria grupu, pre kompoziciu aplikacii.( co pouzijes?)
Mozes aj urobit vhodnu tabulku.

Co sa tyka podgrup za ni hladat podgrupy generovane jednym prvkom... ( co konstatujes?)

Poznamka: pozor napisat z prvkamy 1,2,3 v lubovolnom poriadku, je ta ista mnozina.... Na skuske by to tak zial nepreslo. Tak to treba nejako opravit!

↑ vercicak:

Začnu u těch podgrup. Podgrupa je - přehledně řečeno - taková část H nějaké grupy G, která je sama grupou vzhledem
k operací získané tak, že grupovou operaci z grupy G  zúžíme na množinu H. (Seznam se ale s přesnou definicí podle
studijních materiálů.)

Například: reálná čísla opatřená klasickou operací sčítání tvoří grupu,  všechna racionální čísla tvoří její podgrupu,
ještě "menší" její podgrupu pak tvoří všechna celá čísla, ještě menší podgrupu budou tvořit všechna celá čísla dělitelná
třemi  a mohli bychom naléz ještě mnohé další.


Nyní k první otázce.  Především (což jsem si při psaní příspěvku ↑ Rumburak: neuvědomil), permutace je potřeba
zapisovat pomocí jiných závorek než složených.  Toto je podle zavedené symboliky MNOŽINA ,  jejímiž prvky
jsou právě 1, 2, 3.  V zápise  tedy nezávisí na pořadí prvků , tutéž množinu lze zapsat jako atd. 
U permutací naopak potřebujeme, aby na pořadí prvků v zápise záleželo.  Je zvykem permutace zapisovat stejně,
jako uspořídané n-tice,  zpravidla pomocí kulatých neboli okrouhlých závorek.  Potom   už budou
dvě různé permutace. 

Nyní vidím, že mezi tím již na tento problém upozornil kolega Vanok, kterého zdravím.
Také k dalším nejasnostem se vyjádřil shruba stejně, jak jsem se chystal učinit já, tudíž už končím. :-)

↑ Rumburak:

Děkuji mnohokrát za vysvětlení i za upozornění na špatný zápis.

↑ vercicak:

Především každá grupa je triviálně sama svoji podgrupou,  druhou triviální podgrupu v tvoří množina obsahující
pouze jednotkový prvek grupy , v našem případě tedy množina .   


Další podgrupy můžeme hledat zkusmo tak, že si vezmeme některou permutaci různou od "jednotkové" 
a zkoumáme,  co dají její iterace (tj. "mocniny"). Tím dostaneme podgrupy s jedním generátorem.   

Tak třeba permutace (je to transposice, která pouze mění pořadí na prvých dvou pozicích),  je zřejmě inversní
sama  k sobě,  čímž máme jednu netriviální podgrupu v , a sice , jejímž jediným generátorem
je  . 

V máme dvě další transposice a každá z nich dá rovněž podgrupu s jedním generátorem.

Permutace (tzv. cyklická)  generuje podgrupu s "nosnou možinou" .

Podgrupa se dvěma nezávislými generátory už je zde nutně , řekl bych.

Snad jsem na nic nezapomněl.

Prvky tych podgroup
Id
Id,(1,2)
Id,(2,3)
Id,(2,3)
Id,(1,2,3),(1,3,2)
Cela dana grupa.

Poznamka (1,2) je transpozicia, atd
(1,2,3) je cyklus...

Lagrange-ova teorema o grupach
Tu
Je ju ozaj uzitocne vediet. Nie je v tvojich materialoch?

Ahoj ↑ Rumburak:,
V algèbre sa toto oznacenie pouziva na oznacenie cyklov.
(1,2,3)

Pozri aj sem
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Cycle_notation