Matematické Fórum

krauva · 07. 01. 2015 15:52

Ahojte,
potřeboval bych pomoct nebo aspoň nasměrovat v následujícím příkladu na kuželosečky:
Na parabole $y^{2}=2x$ najděte bod, který je nejblíže k přímce p: $x+2y+10=0$
Díky za rady

zdenek1 · 07. 01. 2015 16:20

↑ krauva:
Body na parabole budou mít souřadnice vyhovující rovnici $y^2=2x$ . Hledaný bod pak např. $P\left[\frac{y_0^2}2;y_0\right]$
Vzdálenost tothoto bodu od dané přímky je
$d=\frac{|\frac{y_0^2}{2}+2y_0+10|}{\sqrt5}=\frac{|y_0^2+4y_0+20|}{2\sqrt5}$
Tato hodnota bude minimální, když bude minimální čitatel. Kvadratický výraz má záporný diskriminant, tudíž je vždy kladný, takže minimum bude ve vrcholu
$y_0=-\frac{4}{2}=-2$
dopočítat x-ovou souřadnici by neměl být problém.

krauva · 07. 01. 2015 16:41

↑ zdenek1:
Díky moc za zajímavý postup, jen bych se rád na něco zeptal:
1) může někdy teoreticky u toho výrazu vyjít diskriminant 0 nebo větší a co by to znamenalo?
2) chápu dobře, že si výraz doplníš na čtverec a zjistíš v jaké hodnotě má minimum (nebo jak si přišel na -4/2 ?)

zdenek1 · 07. 01. 2015 16:50

↑ krauva:
1) jistěže může. Pak to znamená, že výraz nabývá nulové hodnoty. Protože je to celé v abs. hodnotě, ty nulové hodnoty budou minima.
2) doplnění na čtverec je určitě dobrá metoda. Já si ale pamatuju vztah $x_v=-\frac b{2a}$ , kde $a$ a $b$ jsou koeficienty i kvadratického a lineárního členu.

krauva · 07. 01. 2015 17:06

↑ zdenek1:
Jestli ještě můžu něco: zkoušel sem to počítat nejprve pro x souřadnici a vyšlo mi, že:
$x_{0}+2\sqrt{2x_{0}}+10$ (jestli je to teda dobře..?), ta by měla mít minimum v 0 kvůli nezápornosti ale to nesedí pro 1. výpočet
Dělám něco špatně, nebo se to takhle nedá?
Dík za všechno

zdenek1 · 07. 01. 2015 17:55

↑ krauva:
Je to dobře jen na půl (takže vlastně není)

když z rovnice paraboly vyjádříš $y_0$ , tak dostaneš $y_0=\pm\sqrt{2x_0}$ (proto jsem taky volil obrácené vyjádření)
Takže ten tvůj výraz bude $x_0\pm2\sqrt{2x_0}+10$ a dostaneš dvě hodnoty a samozřejmě, ta záporná nebude vyhovovat.

Cheop · 08. 01. 2015 09:43

↑ krauva:
I když už je vyřešeno tak bych navrhl:
Hledaný bod bude tečným bodem tečny paraboly rovnoběžné se zadanou přímkou.

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2015 15:52

Bod daných vlastností na parabole

#2 07. 01. 2015 16:20

Re: Bod daných vlastností na parabole

#3 07. 01. 2015 16:41

Re: Bod daných vlastností na parabole

#4 07. 01. 2015 16:50

Re: Bod daných vlastností na parabole

#5 07. 01. 2015 17:06

Re: Bod daných vlastností na parabole

#6 07. 01. 2015 17:55

Re: Bod daných vlastností na parabole

#7 08. 01. 2015 09:43

Re: Bod daných vlastností na parabole

Zápatí