Matematické Fórum

Kallix · 03. 02. 2015 15:28

Dobrý den,
narazil jsem na tento problém,
jsou dány rovnice křivek:

x=sin(t)
y=cos(t)
S=?

Jak mám vypočíst obsah mezi těmito křivkami? Zkoušel jsem si udělat graf a vyšlo mi to jako obsah v kružnici o poloměru r=1. Ale nevím jak z toho udělat nějaký použitelný vzorec a ten pak správně do podoby $\pi r^{2}$ zintegrovat.

Děkuji.

Eratosthenes · 03. 02. 2015 15:45

ahoj ↑ Kallix:,

to nejsou "rovnice křivek" to jsou parametrické rovnice jedné křivky, a sice kružnice. A máš spočítat obsah plochy ohraničené touto křivkou.

Kallix · 03. 02. 2015 16:04

↑ Eratosthenes:
Ano, ale já nevím jak to vyjádřit pomocí integrálu. A sám jsem napsal, že grafem je kružnice a mám spočítat její obsah. Ale jak k tomu skrze integrál dojdu?

Eratosthenes · 03. 02. 2015 18:04

↑ Kallix:

musíš vyjádřit y jako funkci x, a pak ve vhodných mezích zintegrovat.

Jj · 03. 02. 2015 18:06 — Editoval Jj (03. 02. 2015 18:06)

↑ Kallix:

Dobrý den. Třeba

$S = \frac{r^2}{2}\cdot \int_{0}^{2\pi}dt$

nebo

$S =2\pi \cdot \int_{0}^{r}r\,dr$

Edit - pozdě, ale nechám.

Eratosthenes · 03. 02. 2015 18:26

↑ Kallix:

postup ↑ Jj: je samozřejmě jednodušší, ale abychom k jeho vztahům dospěli, je potřeba vědět, jak spočítat obsah vymezený parametricky nebo polárně vyjádřenou křivkou.

Kallix · 03. 02. 2015 18:30

↑ Eratosthenes:
A o to mi právě jde, že nevím jak, nechápu vůbec celé parametrické zadávání. Integrovat normální funkce a počítat z nich nemám problém. A to od Ji: je sice hezké, ale to lze najít na internetu při odvozovaní vzorce pro obsah kružnice.

Jj · 03. 02. 2015 18:42

Kallix napsal(a):
A to od Ji: je sice hezké, ale to lze najít na internetu při odvozovaní vzorce pro obsah kružnice.

No a co?

Eratosthenes · 03. 02. 2015 19:28

Kallix napsal(a):
... Integrovat normální funkce a počítat z nich nemám problém...

No tady to možná trochu problém bude, integrál té "normální" funkce totiž nebude z nejjednodušších. Tu funkci dostaneš, když se na parametrické vyjádření podíváš jako na soustavu dvou rovnic a vyloučíš z ní parametr t.

Kallix · 03. 02. 2015 20:51

↑ Eratosthenes:
A mohl by jsi to napsat? Nikdo z mého okolí tomu nerozumí. =(

Eratosthenes · 03. 02. 2015 22:45

↑ Kallix:

x =sin(t)
y =cos(t)
----------
x^2 =sin^2(t)
y^2 =cos^2(t)
----------
x^2+y^2=1
y =....

Honzc · 04. 02. 2015 10:37

↑ Kallix:
Tak tedy
1. Máme-li spočítat obsah rovinného obrazce tvaru výseče pak platí:
Je-li hranční křivka dána parametricky: $x=\varphi (t)\\ y=\psi (t) \\ t\in \langle t_{1},t_{2} \rangle$
$P=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\psi (t)\varphi^{\cdot }(t)dt$
2. Pro nás: $\varphi (t)=\sin t,\,\varphi ^{\cdot }(t)=\cos t$
$\psi (t)=\cos t$
$t\in \langle0,2\pi \rangle$
Zbytek je pouze výpočet integrálu
$\int_{0}^{2\pi }\cos ^{2}t dt=[\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}]^{2\pi }_{0}=\frac{2\pi }{2}=\pi$
Pokud by poloměr byl $r$ , pak stačí náš výsledek vynásobit výrazem $r\cdot r=r^{2}$