Matematické Fórum

Ninkasu

Nekteré příklady z hodin diskrétní matematiky na jaderce. Popravde tomu moc nerozumim tak kdyz nekdo napise reseni s postupem budu rad, nicmene to sem davam hlavne pro ty co si radi pocitaji. Budu tenhle topic aktualizovat co to půjde :)
některé jsou již zde: Odkaz

1.
Dokažte, že jsou-li , a + b takové, že , pak c = a + b

2.
Dokažte, že kořeny polynomu splňují

3.
Najděte kubický polynom, jekož kořeny jsou druhé mocniny kořenů polynomu

halogan

Edit: pardon, vedle.

Pavel · 27. 04. 2009 17:32 — Editoval Pavel (27. 04. 2009 17:33)

↑ Ninkasu:

ad 2) stačí uvažovat rovnici $x^3-x^2+\frac ba\, x+\frac ba=0$ a spolu s ní Vietovy vztahy mezi kořeny a koeficienty rovnice. A je to.

Kondr · 27. 04. 2009 18:58

Ad 1)c=a+b+e
(a+b)^3+3(a+b)^2e+3(a+b)e^2+e^3=(a+b)^3+3abe
3(a+b)^2e+3(a+b)e^2+e^3=3abe
Pokud e není 0
3(a+b)^2+3(a+b)e+e^2=3ab
e^2+3(a+b)e+3(a+b)^2-3ab=0
Řešeme jako kvadratickou rovnici pro e. Diskriminant je
9(a+b)^2-12(a+b)^2+12ab=-3a^2+6ab-3b^2=-3(a+b)^2.
Pokud je a+b různé od 0, žádné e nenajdeme, pro a=-b máme e^2+3a^2=0, jediné řešení e=0.

Pavel Brožek · 27. 04. 2009 23:22

Ad 3)

Kořeny polynomu $x^3-3x^2+x-12$ označím $x_1$ , $x_2$ a $x_3$ . Napíšu si Vietovy vztahy:

$x_1+x_3+x_3=3\nl x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=1\nl x_1x_2x_3=12$

Obě strany každé rovnice umocním na druhou

$x_1^2+x_3^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=9\nl x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_1^2x_3^2+2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=1\nl x_1^2x_2^2x_3^2=144$

a použiju uvedené Vietovy vztahy.

$x_1^2+x_3^2+x_3^2=7\nl x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_1^2x_3^2=-71\nl x_1^2x_2^2x_3^2=144$

Hledaný kubický polynom je tedy

$x^3-7x^2-71x-144$ .