Matematické Fórum

Aquabellla · 09. 04. 2015 13:43

Zdravím, mám další příklad z variačního počtu a nevím, jak ho dokončit. Asi se jedná jen o nějakou maličkost, ale můj mozek už to sám nezvládá :-)

Najdi křivky, pro které $\int \limits_{0}^{t_1} \frac{\sqrt{1 + x'^2}}{x} dt$ může mít extrémy splňující $x(0) = 0$ , jestliže bod $(t_1, x_1)$ musí ležet na přímce $x = t - 5$ .

$F(t, x, x') = F(x, x') = \frac{\sqrt{1 + x'^2}}{x} \rightarrow F_x = - \frac{\sqrt{1 + x'^2}}{x^2}, F_{x'} = \frac{x'}{x \sqrt{1 + x'^2}}$

Eulerova rovnice: $F - x' \cdot F_{x'} = const \rightarrow x \sqrt{1 + x'^2} = A \rightarrow x(t) = \pm \sqrt{A^2 \pm 2Bt - B^2 - t^2}$ , kde $A,B$ jsou konstanty.

Počáteční bod: $x(0) = 0 = \pm \sqrt{A^2 - B^2} \rightarrow A^2 = B^2 \rightarrow x(t) = \pm \sqrt{\pm 2Bt - t^2}$

Koncový bod musí splňovat rovnici $F + (R' - x') F_{x'} = 0$ v $t_1$ , kde $R(t_1) = x_1$
$R(t_1) = x_1 = t_1 - 5$ , $R' = 1$ , $\frac{\sqrt{1 + x'^2}}{x} - (1 - x') \frac{x'}{x \sqrt{1 + x'^2}} = \frac{1 + x'}{x \sqrt{1 + x'^2}} \rightarrow x' = -1 \rightarrow x(t) = -t + C$ v $t_1$ , kde $C$ je konstanta.

Jak postupovat dál?
Předem děkuji za každou radu.

check_drummer · 09. 04. 2015 17:19

Ahoj, co znamená tato věta:

Aquabellla napsal(a):
Najdi křivky, pro které $\int \limits_{0}^{t_1} \frac{\sqrt{1 + x'^2}}{x} dt$ může mít extrémy splňující $x(0) = 0$

? Moc nechápu smysl.

Aquabellla

↑ check_drummer:

To byl pokud o překlad do češtiny, asi ne moc zdařilý. Zde je originál:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/91966_070-071.jpg

Jednoduše řečeno: Je třeba najít extremálu k zadanému funkcionálu, která splňuje fixní počáteční bod $x(0) = 0$ a omezený koncový bod, který musí ležet na přímce $x = t - 5$ .

kafe_arabica

Ahoj.

Čo je R za funkciu?

Prečo si podmienku pre koncový bod nevyužila nasledovne:
Koncový bod riešenia, teda tej krivky, musí ležať na priamke t-5. Koncový bod je $t_1$ , t.j. $x(t_1)=t_1-5$ .
A už mám rovnice, $\pm\sqrt{\pm2Bt_1-t_1^2}=x(t_1)=t_1-5$ .

Môžeš, prosím, pripomenúť ako sa rieši tá diferenciálna rovnica?

Edit: Mimochodom, niekedy môže výjsť, už po dosadení počiatočných podmienok, krivka x, v ktorej je nejaká konštanta naviac. Napr., $x(t)=e^{3t}+c$ . Vtedy sa táto krivka dosadí do pôvodného integrálu, spočíta sa integrál a pozrie sa na extrém výslednej funkcie, príčom premenná bude samozrejme tá konštanta.

check_drummer · 11. 04. 2015 18:36

↑ Aquabellla:
Ahoj, stále nechápu na jaké množině hledáme to maximum toho funkcionálu. Zaráží mě to spojení "can have" - to má asi naznačit, že hledáme nějakou nutnou podmínku existenci extrému (a nikoli nutně postačující)? Tedy úloha je taková, že mezi libovolnými křivkami splňujcíími x(0)=0 a (v bodě a)) x1=t1-5 chceme najít takovou maximalizující ten integrál - resp. takovou, iu které je podezření, že tento ntegrál maximalizuje...(?)

Jj · 12. 04. 2015 08:49

↑ Aquabellla: ↑ check_drummer:

Dobrý den.

Před pár dny jsem zkoušel úlohu dořešit, narazil jsem na problém - po dosazení mého řešení extrémály integrál divergoval. Takže možná, ...

Aquabellla · 12. 04. 2015 17:10

↑ kafe_arabica:

$R$ je funkce, která určuje omezení konečného bodu, tj. $R(t_1) = x_1$ . V tomto příkladu to je $x_1 = t_1 - 5$ .

Jelikož v integrandu chybí proměnná $t$ , tj. $F(t,x,x') = F(x,x')$ , Eulerova rovnice se dá zjednodušit na tvar: $F - x' \cdot F_{x'} = const$ , což nám dá diferenciální rovnici 1. řádu, která se většinou spočte jednodušeji než DR 2. řádu, kterou dostaneme, použijeme-li základní tvar Eulerovy rovnice, tj. $F_x = \frac{d}{dt} F_{x'}$ .

Děkuji moc za nápovědu k řešení, už jsem se dopočítala výsledku.

↑ check_drummer:

Ano, přesně tak. Jedná se o úlohu, která má procvičit omezení koncového bodu.
Pro zjištění, zda se skutečně jedná o optimum, je třeba vypočítat $F_{x' x'}$ . Při maximalizaci musí být $\le 0$ a při minimalizaci $\ge 0$ pro $\forall t_0 \le t \le t_1$ , v tomto příkladu je $t_0 = 0$ .

↑ Jj:

Děkuji za upozornění, dám si na to pozor, až budu vybírat příklady do DP.