Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 16. 04. 2015 23:34

Contemplator
Příspěvky: 362
Reputace:   0 
 

Záporný základ v exponenciále

Nazdar, mám takú otázku ohľadom podmienok pre exp. funkciu.  -----   platí že:  $a>0$   
Keď je základ záporný a exponent s nepárnym čitatelom a párnym menovatelom napr. $(-2)^{{\frac{3}{2}}}$ tak mi vychádza $\sqrt{-}$ - záporný základ,  ale keď je základ záporný a exponent s párnym čitatelom a nepárnym menovatelom $(-2)^{\frac{2}{3}}$ tak to po umocnení a odmocnení vychádza kladné číslo. 

Takže tá možnosť umocniť záporný základ s exponentom párne/nepárne zanikla tým ze zavedieme podmienku $a>0$. Ale predtým bola možná, ale nebola možná tá druhá časť ktorú tou podmienkou vylučujeme , takže, tým, že tú podmienku zavediem to otočím.  ALE PREČO?  Máš niečo, kde ti nieco nevyhovuje, tak to prevratis aby ti to vyhovovalo , ale nebude vyhovavat tá 2. časť   

Čo mi tu uniká prosím vás :D

Offline

 

#2 17. 04. 2015 06:59

Honzc
Příspěvky: 4647
Reputace:   248 
 

Re: Záporný základ v exponenciále

↑ Contemplator:
Ty si pleteš pojmy exponenciální funkce a n-tá odmocnina z reálného čísla.
(Reálná funkce je předpis, kde každému x z definičního oboru je přiřazeno právě jedno reálné číslo y)
Exponenciální funkce $y=a^{x} \,\,a>0,x\in R$
n-tá odmocnina z reálného čísla je definována takto:
a - reálné číslo, n - přirozené číslo,  x - reálé číslo
1. a>0, $x=\sqrt[n]{a}$
2. a=0, $x=\sqrt[n]{0}=0$
3. a<0, n liché přirozené číslo, $x=\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-a}$
    např. $\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-2$

Offline

 

#3 17. 04. 2015 11:29

Contemplator
Příspěvky: 362
Reputace:   0 
 

Re: Záporný základ v exponenciále

↑ Honzc: nerozumiem, ako si to pletiem, ale z toho čo si napísal mi vyplýva, že keď mám $(-2)^{{\frac{3}{2}}}$ alebo $(-2)^{\frac{2}{3}}$  , tak mínus vyhodím pred odmocninu a už to bude po umocnení a odmocnení kladné pre všetky exponenty

Offline

 

#4 17. 04. 2015 12:00 — Editoval Al1 (17. 04. 2015 12:06)

Al1
Příspěvky: 7797
Reputace:   542 
 

Re: Záporný základ v exponenciále

↑ Contemplator:

Povolené úpravy:
$(-2)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(-2)^{2}}=\sqrt[3]{4}=\bigg(\sqrt[3]{(-2)}\bigg)^{2}=\bigg(-\sqrt[3]{2}\bigg)^{2}=\bigg(-\sqrt[3]{2}\bigg)\cdot\bigg( -\sqrt[3]{2}\bigg)=\sqrt[3]{4}$

$(-2)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{(-2)^{3}}=\sqrt{-8}=\bigg(\sqrt{(-2)}\bigg)^{3}=\sqrt{(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)}=\sqrt{-8}$  a tato neexistuje.

Tedy pro  $\sqrt[n]{a}$ platí
a) pro n je sudé přirozené číslo je  $a\ge 0$ (sudá odmocnina se dá spočítat jen z nezáporného reálného čísla)
b) pro n je liché přirozené číslo je $a\in R$ (lichá odmocnina se dá spočítat z jakéhokoli reálného čísla)

Offline

 

#5 17. 04. 2015 12:21

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Záporný základ v exponenciále

↑ Contemplator:, ↑ Honzc:

Ahoj.  Ještě to trochu rozvedu.

I existující  n-tou odmocninu z reálného čísla $a$ lze samozřejmě vyjádřit v exponenciálním tvaru, např.   $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. 

Ovšem podmínka kladená na základ $a$ u funkce

(1)                  $x \mapsto a^x$

bude záviset na tom, z jaké množiny chceme brát hodnoty proměnné $x$. 

1. Nejjednodušším případem je  $x \in \{1, 2, 3, ... \}$ , pak na číslo $a$ není potřeba klást žádné speciální požadavky.

2. Chceme-li do definičního oboru funkce (1) zařadit i nulu,  pak někdy (snad na úrovni ZŠ, pokud si dobře vzpomínám,
ale mohu se mýlit) bývá kladena podmínka $a \ne 0$, ale není to bezpodmínečně nutné - lze definovat $0^0 := 1$ a
ničemu to nebude vadit (v některých partiích matematiky se tato definice využívá).

3.  Chceme-li do definičního oboru funkce (1) dále zařadit i celá čísla záporná, pak podmínka $a \ne 0$ už je nezbytná,
protože bez ní bychom dostávali případy dělení nulou, které v aritmetice reálných čísel nelze definovat tak, aby mělo
rozumné vlastnosti.

4.  Dalším stupněm rozšiřování definičního oboru funkce (1) by bylo zařadit do něj zbývající racionální čísla .
Je přirozené definovat  $a^{\frac{m}{n}}$, kde zlomek $\frac{m}{n}$ je v základním tvaru s kladným jmenovatelem (aby se definice nemusela
potýkat s problémem nekonečně mnoha způsobů, jak vyjádřit totéž rac.  číslo) jako kořen $y$ rovnice

(2)                                      $y^n = a^m$ ,

což v případě $n=1$  je ve shodě s definicí dosavadní. Avšak zde narážíme na další problém:

A)  některá rovnice tvaru (2) má dva reálné kořeny lišící se znaménkem (například rovnice $y^2 = 4^3$) ,

B)  některá rovnice tvaru (2) nemá žádný reálný kořen (například rovnice $y^2 =(-4)^3$) .

Situaci A, která může nastat, když $a > 0$ ,  lze vyřešit tím, že k definici pomocí kořenu rovnice 2 připojíme dodatek:

     má-li rovnice (2) dva reálné kořeny lišící se znaménkem, uvažujeme ten z nich, který je kladný.

Situaci $B$, které může nastat v případech, kdy $a < 0$,  však uspokojivě vyřešit neumíme.


5. Další rozšíření definičního oboru funkce (1) o čísla iracionální už k podobným problémům naštěstí nevede.


Toto jsou důvody, proč u funkce (1) musíme předpokládat $a > 0$, chceme-li ji vnímat jako reálnou funkci, jejímž
definičním oborem  mají být všechna reálná čísla.
Nicméně psát v ojedinělých případech např.   $(-64)^{\frac{1}{3}} = -4$ je obvykle považováno za přípustné.

Offline

 

#6 17. 04. 2015 17:20

Contemplator
Příspěvky: 362
Reputace:   0 
 

Re: Záporný základ v exponenciále

↑ Al1: A čo $\sqrt[3]{(-2)^{5}}$ ?     No šak práve to , že 2. neexistuje, lebo záporné číslo sa nedá odmocniť. Takže tá podmienka - $a>0$(pre exp. funckiu) sa zaviedla preto, že stačí že z ,,polovice´´ z tých racionálych exponentov vychádza záporné číslo a preto to už nevyhovuje?

Offline

 

#7 17. 04. 2015 17:55

Al1
Příspěvky: 7797
Reputace:   542 
 

Re: Záporný základ v exponenciále

↑ Contemplator:

$\sqrt[3]{(-2)^{5}}=-\sqrt[3]{2^{5}}$.

Jinak si znovu přečti, co podrobně napsal Rumburak.

Já jsem reagoval na tvou chybně pochopenou věc: "tak mínus vyhodím pred odmocninu a už to bude po umocnení a odmocnení kladné pre všetky exponenty"

Rumburak takovou úpravu připustil pouze, pokud je odmocnitel lichý!! a ty to zobecňuješ na všechny odmocnitele.

Offline

 

#8 19. 04. 2015 08:27

Honzc
Příspěvky: 4647
Reputace:   248 
 

Re: Záporný základ v exponenciále

↑ Contemplator:
Ty asi nečteš co jsem ti napsal:
3. a<0, n liché přirozené číslo, $\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-a}$

"....že keď mám $(-2)^{{\frac{3}{2}}}$ alebo $(-2)^{\frac{2}{3}}$  , tak mínus vyhodím pred odmocninu a už to bude po umocnení a odmocnení kladné pre všetky exponenty"

Je potřeba si ujasnit,co je mocnina s racionálním exponentem.
$(-2)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{(-2)^{3}}=\sqrt{-8}$ a to samozřejmě nejde, neboť n=2 je sudé číslo.
$(-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=2$

Ovšem ty jsi se ptal na exponenciální funkci. A ta je defnovaná tak jak jsem ti napsal.
$y=a^{x} \,\,a>0,x\in R$, tam je důležité, že $x\in R$ (a ne pouze racionální čísla) a pak musí být $a>0$

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson