Matematické Fórum

Ospli · 21. 04. 2015 14:31 — Editoval Ospli (21. 04. 2015 14:36)

Ahoj, mohli byste mi prosím pomoct s tímto příkladem?

Nekonečněkrát hodíme kostkou.
a) pravděpodobnost, že padne 6 v nekonečně mnoha hodech?
b) padne 6 vždy, až na konečně mnoho hodů?
c) padne nekonečněkrát 100 šestek za sebou

Intuitivně Pa = 1, Pb=0, Pc=1. Ale dost se v tom ztrácím a nevím, jak to formálně ukázat.

Zkusil jsem to takhle (a):
Ppstní prostor $(\Omega , \Sigma , P)$ , kde $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ , $\Sigma$ je $\sigma-algebra$ na $\Omega$ (množina všech podmnožin) a P je pravděpodobnostní míra, terá každému elementárnímu jevu přiřadí ppst 1/6 a libovolné jiné podmnožině omegy ppst 0.

Mám posloupnost náhodných jevů $A_{n}=\{6\}$ a chci zjistit pravděpodobnost jevu $\limsup_{n\to \infty } A_n$ .
Podle Borelovy věty $\sum_{}^{} P(A_n)=\infty$ a tedy $P(\limsup_{n\to \infty } A_n)=1$
Když to ale spočítám $\limsup_{n\to \infty } A_n = \cap \cup A_k = \{6\}$ , je $P(\{6\}) = 1/6$ .

Kde dělám chybu?
Díky

Když na to tak koukám, tak ten můj postup fakt nedává smysl. Počítám pravděpodobnost jevu, který ani není v mém pravděpodobnostním prostoru...
Ukážete mi prosím, jak tu situaci modelovat? Pak už se snad chytím.

tadeas66 · 23. 04. 2015 15:00

↑ Ospli:

Prvně je třeba si uvědomit, že v $\Omega$ jsou jevy, nikoli čísla, jak by se mohlo zdát z Tvého zápisu. Názornější by bylo možná $\Omega = \lbrace \text{padne číslo 1},\, \text{padne číslo 2},\,\ldots ,\, \text{padne číslo 6}\rbrace$ . Za sigma-algebru bereme všechny měřitelné množiny a každému elementárnímu jevu je přiřazena stejná pravděpodobnost - v tomhle případě $1/6$ , to je taková ta klasická pravděpodobnost na konečném pstním prostoru.

Není ale pravda, že by každá jiná podmnožina pravděpodobnostního prostoru $\Omega$ než elementární jevy měla pravděpodobnost 0. Co třeba $\lbrace \text{padne číslo 1}\rbrace \cup \lbrace \text{padne číslo 2}\rbrace = \lbrace \text{padne číslo 1 nebo padne číslo 2}\rbrace$ .

Teď k příkladu. Pokud házíme kostkou nekonečněkrát, dříve zmíněný prostor $\Omega$ už nestačí, musel by se definovat trochu jinak. Důležité je, aby byly měřitelné všechny jevy $\lbrace \text{v }n\text{-tém hodu padne číslo }k\rbrace$ . Předpokládejme, že jednotlvé hody jsou nezávislé.
Vezmeme $A_n = \lbrace \text{v n-tém hodu padne 6} \rbrace$ . Je $P\left(A_n\right) = 1/6$ . Díky nezávislosti lze použít Borelova věta. Jelikož $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \sum_{n=1}^\infty 1/6 = \infty$ je podle Borelovy věty $P\left( \limsum A_n\right) = P \left( \text{v hodech padne nekonečněkrát 6}\right) = 1.$

Je třeba rozlišovat mezi množinovým $\limsum$ a $\limsup$ posloupnosti čísel.

U b) se využije toho, že $\liminf A_n^c = \left(\limsup A_n\right)^c.$