Matematické Fórum

green19 · 13. 05. 2015 12:10

Ahoj, pomozete mi prosim s dokazom vety: Nech $f(x,t)$ a $\frac{\partial}{\partial t} f(x,t)$ sú spojité funkcie na $M=\langle a,b\rangle \times \langle c,d \rangle$ . Potom $I$ je diferencovateľná na $\langle c,d \rangle$ a navyše platí $(\forall t \in \langle c,d \rangle) \frac{d}{dt}I(t)=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)dx$

Rumburak

↑ green19:

Ahoj.

Patrně jde o Lebesgueův integrál (?) Hrubý nástin důkazu bych viděl následovně.

Derivace je jakási limita. Přesněji: $\frac{\partial}{\partial t} f(x,t) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x, t+h) - f(x, t)}{h}$ .

Zvolme pevně $t \in \langle c,d \rangle$ a položme $g(x,h) := \frac {f(x, t+h) - f(x, t)}{h}$ pro přípustná $h \ne 0$ .

Nyní postupujme podle věty o záměně pořadí limity a integrálu, dle které za určitých předpokladů platí

$\lim_{h \to 0}\int_a^b g(x, h) \d x = \int_a^b \lim_{h \to 0}g(x, h) \d x$ .

V případě krajních bodů intervalu $\langle c,d \rangle$ uvažujeme odpovídající jednostranné limity.
Stačí tedy ověřit , že v uvažované situaci jsou ony předpoklady splněny. Viz též analogická Lebesgueova věta pro případ

$\lim_{n \to \infty}\int_a^b g_n(x) \d x = \int_a^b \lim_{n \to \infty} g_n(x) \d x$ .

green19 · 13. 05. 2015 17:35

Ide o Riemanov integral. Problem je vlastne v tom, ze pri nevlastnom integraly je pre diferencovatelnost potrebna aj rovnomerna existencia toho integralu, ale tu ju netreba. Tak ze kde presne v dokaze by v pripade nevlastneho integralu bolo potrebne "strcit" tu rovnomernu konvergenciu, ktoru tu netreba...

Rumburak · 14. 05. 2015 09:29

↑ green19:

Já to znám pouze přes teorii Lebesgueova integrálu. "Klasické" Riemannovy integrály jsou zároveň Lebesgueovými integrály,
avšak pro nevlastní R-integrál tomu tak být nemusí - zde tedy asi neporadím.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2015 12:10

Diferencovatelnost parametrickeho integralu

#2 13. 05. 2015 14:33 — Editoval Rumburak (13. 05. 2015 14:55)

Re: Diferencovatelnost parametrickeho integralu

#3 13. 05. 2015 17:35

Re: Diferencovatelnost parametrickeho integralu

#4 14. 05. 2015 09:29

Re: Diferencovatelnost parametrickeho integralu

#5 26. 05. 2015 00:57 Příspěvek uživatele lukas86 byl skryt uživatelem jelena. Důvod: OT, založeno samostatné téma

Zápatí