Matematické Fórum

Marian · 08. 05. 2009 00:01 — Editoval Marian (08. 05. 2009 11:53)

Snad se Pavel na mě nebude zlobit, ale trochu jeho úlohu dozdobím. Nechal jsem se inspirovat a dostal jinou úlohu ...

(1) Dokažte, že suma
$\color{blue}\sum_{k=1}^{2007}k^{k^k}$
není dělitelná číslem 10 beze zbytku.

(2) Najděte zbytek po dělení číslem 10.

(3) Najděte nejmenší horní index sumace větší než 2007 takový, že daná suma je beze zbytku dělitelná číslem 10.

_________________
PS_1. Myslím, že bych mohl postupovat v tetraci dále, ale nejsem si jistý, zda-li i obecně (nezkoušel jsem to).
PS_2. Vyčíslovat uvedený součet je nesmyslné. Maple 9.5 končí u 7^(7^7) a hlásí, že dané číslo má 695775 cifer. V případě 8^(8^8) napůl kolabuje a omlouvá se, že číslo je příliš velké, než aby jej mohl zobrazit (...Integer too large for display...). V případě 9^(9^9) následuje hláška Error, numeric exception: overflow.

:-)

Kondr · 08. 05. 2009 00:35

↑ Marian:Myslím, že pro $\color{blue}\sum_{k=1}^{2007}k^{k^{k^k}}$ a všechny další výrazy lišící se jen "výškou" už to vyjde pak vyjde stejně -- zbytek mod 2 zřejmě a zbytek mod 5 závisí na tom, jaký je exponent mod 4. Přitom ale mod 4 platí
$k^k\equiv k^{k^k}$ .

Marian · 08. 05. 2009 01:56

↑ Kondr:
Tvá poznámka k větším "výškám" se mi jeví reálně. Dospěl jsem ke stejnému faktu, jen jsem si jej chtěl s odstupem času ještě ověřit a případně přenechat zájemcům ideje k důkazu tohoto faktu v některých budoucích příspěvcích níže.

Pavel · 15. 05. 2009 18:21

↑ Marian:

Vyšlo mi, že $\sum_{k=1}^{2007}k^{k^k}\equiv 4\ (\text{mod } 10)$ a $\sum_{k=1}^{2008}k^{k^k}\equiv 0\ (\text{mod } 10)$ . Řešení mám na 10 listech formátu A4, sepíšu jej v pondělí.

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2009 00:01 — Editoval Marian (08. 05. 2009 11:53)

Květnové mocniny (2. část)

#2 08. 05. 2009 00:35

Re: Květnové mocniny (2. část)

#3 08. 05. 2009 01:56

Re: Květnové mocniny (2. část)

#4 15. 05. 2009 18:21

Re: Květnové mocniny (2. část)