Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
zdravím
mám úlohu : "Ukážte, že prvok , ktorý nie je deliteľom jednotky, je deliteľom nuly.
moje riešenie.
ak je prvok deliteľom jednotky v tak existuje riešenie rovnice , čiže
keď prvok nie je deliteľom jednotky, tak a to znamená, že je deliteľom nuly v .
je to správne ?
ďakujem .
Offline
v podstate by úloha mala byť ekvivalentná s tvrdením
ak
ako v prvom príspevku, x neexistuje práve vtedy, keď a tak musí byť (ak beriem, že gcd je len kladné)
keď tak teraz rozmýšľam, ako presnejšie dokázať, že ak a tak potom je deliteľom nuly, že existuje také,čiže
ďakujem .
Offline
[img][/img]Ahoj ↑ vytautas:,
Ide o pekne cvicenie, vlasnost ktoru pripomina, je zial akokeby zabudnuta vela studentamy.
Vidim ze si sa snazil preformulovat tvoje cvicenie. Mas tam au dobre myslienky....
Ukazem ti, trochu viac ako to co je formulovane v tvojom cviceni.
je disjonktna unia mnoziny jeho delitelov jednotky a mnoziny jeho delitelov nuly.
Naviac
je delitelom jednotky v len a len ak
je delitel nuly v len a len ak
Nech .
Ak je delitelom jednotky a , tak mame , a preto existuje take, ze . Co da a preto .
Reciprocne, nech d=1. Bachet-ova veta nam zarucuje, ze existuje take, ze . To nam da a preto je delitelom jednotky v .
Edit. Oprava podla beznej pouzivanej sk terminologie
Porozmyslaj o tejto casti dokazu, kde som vyuzil uzitocnu Bachet-ovu vetu.
Zvysok to bude pokracovanie. ( ale nic ti nebrani trochu o tom porozmyslat)
Offline
↑ vytautas:
tu mas v podstate "chybu" v dokaze (chybu v zmysle, ze ti tam chyba argumentacia)
totizto vyzera to, ze tvrdis : "a je delitel jednotky" implikuje "(a,n)=1" a teda "a nie je delitel jednotky" implikuje "(a,n)>2" ale takto implikacia nefunguje - v prvom tvrdeni by si potreboval presne opacnu implikaciu
(ktora v skutocnosti plati - pozri Bezoutovu identitu)
Alternativny dokaz:
Nech uvazujme vsetky pre - tento sucin ale moze nadobudat iba hodnoty - lebo sme v . Ak je medzi nimi tak je delitelom jednotky; ak nie je, tak bud je medzi nimi nula a sme hotovi, alebo sa tam jedna z moznych hodnot nachadza (aspon) dva krat a teda existuju take , , ze plati avsak potom cize je delitelom nuly.
Offline
Tak ta posledna cast dokazu.
Ak d>1, mame . Potom , co znamena, ze je delitel nuly v .
Reciprocne delitel nuly nemoze byt delitelom jednotky a tak .
Poznamka. Delitel jednotky, je vlastne inverzibiliny ( regularny) prvok (ktore generuju grupu inverzibilnych prvkov, o ktorej sa da dokazat, ze ma prvkov, je Euler-ova funkcia).
Poznamenajme este, ze pojem unité = "jednotka" sa pouziva vo fr., en. namiesto pojmu delitel jednotky.
Offline
↑ vytautas:,
Vies ze
A chces ukazat, ze je delitelom nuly.
je dobry kandidat na dokaz prave preto ze ...
Dobre pokracovanie.
Offline
↑ vytautas:
Doplnok.
Upresnim este co som napisal tu ↑ vanok: v poznamke.
Iste si teraz schopny dokazat toto
Nech , , nasledujuce vlasnosti su ekvivalentne
1)
2) je generator grupy
3) co je grupa intervertibilnych prvkov okruhu
Tento vysledok je dolezity co sa tyka studia automorfizmov groupy co umozni napr. vysetrenie urcitych semi-direktnych sucinov grup.
No vsak to iste prehlbis neskor, ak budes pokracovat vo studiu algebry.
Offline