Matematické Fórum

FinAAAL · 11. 05. 2009 16:10

hoj pomůžete mi zase? :-)

1. Urči oč je součet prvých 100 přirozených čísel sudých větší než součet prvých 100 přirozených čísel lichých. Tenhle příklad mám vyřešen prakticky, ale potřeboval bych ho tou teoretickou cestou.

2. Mezi kořeny rovnice x^2 + x - 12 = 0 vložte 13 členů tak, aby s kořeny rovnice tvořila 15 členů aritmetické posloupnosti. Vypište je.

3. V aritmetické posloupnosti je a1 = 3 , d = 2. Kolik členů dává součet Sn= 120?

4. V aritmetické posloupnosti je a1 = 30, d = -3, urči člen, který se rovná osmině součtu všech členů předcházejících.

5. Součet prvých devíti členů aritmetické posloupnosti je 108. Urči je, víme, že se jedná o čísla přirozená.

svatý halogan · 11. 05. 2009 16:24

1)
sudé číslo: 2k (k náleží N)
liché číslo: (2l - 1) (l náleží n)

Spočítáme součty:
$L = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \nl n = 100 \nl a_n = a_{100} = a_1 + 99d = a_1 + 198 = 200 \nl L = 50 \cdot (2 + 200) = 10100$

Teď zkus to samé pro lichá čísla.

2)
$x^2 + x - 12 = (x -3) \cdot (x + 4)$

Kořeny 3 a -4.

A víš, že $a_1 = 3 \qquad \qquad a_{15} = -4$

Najdi diferenci a máš hotovo.

3)
Pouze vzorec:
$S = \frac n2 (a_1 + a_n) \nl a_n = a_1 + d \cdot (n-1)$

---

A já jdu obědvat, se zbytkem pomůže někdo jiný.

Cheop · 12. 05. 2009 07:39 — Editoval Cheop (12. 05. 2009 07:46)

↑ FinAAAL:
Př.4)
Musí platit:
$\frac{n-1}{2}[30+30+(n-2)(-3)]=8(30+(n-1)(-3))$ -úpravou dospějeme k rovnici:
$n^2-39n+198=0\nln_1=6\nln_2=33$
Pro n=6
$a_6=30+5(-3)=15$
Pro n=33
$a_{33}=30+32(-3)=-66$
Zkouška:
pro a_6
$S_5=\frac{5}{2}(30+30+4(-3))=120$
$15\cdot 8=120$
$120=120$
Pro a_33
$S_{32}=\frac{32}{2}(30+30+31(-3))=-528$
$-66\cdot 8=-528$
$-528=-528$

Cheop · 12. 05. 2009 08:47 — Editoval Cheop (12. 05. 2009 09:09)

↑ FinAAAL:
Př.5)
$S_9=\frac 92(a_1+a_9)=108\nla_1+a_9=24\nl2a_1+8d=24$
Protože to mají být čísla přirozená, pak:
$24-2a_1$ musí být dělitelné číslem 8 což tedy mohou být čísla 24, 16, 8
a pak:
1) $24-2a_1=24\,\Rightarrow\nla_1=0\nld=3$
2) $24-2a_1=16\,\Rightarrow\nla_1=4\nld=2$
3) $24-2a_1=8\,\Rightarrow\nla_1=8\nld=1$

Ta čísla tedy budou:

1) (0,3,6,9,12,15,18,21,24) nebo
2) (4,6,8,10,12,14,16,18,20) nebo
3) (8,9,10,11,12,13,14,15,16)

Poznámka: Nejsem si jist, zda 0 (nula ) patří mezi čísla přirozená.

JOnas · 12. 05. 2009 11:22

↑ Cheop: Myslím ze ne...

Cheop · 12. 05. 2009 11:36

↑ JOnas:
Pak by tedy úloha měla 2 řešení.
První řešení by vypadlo. (mám ten dojem, že máš pravdu, protože nula je zvláštní číslo)

joker · 12. 05. 2009 11:38

↑ Cheop:

Zdravim,

Množina přirozených číšel obsahuje kladná celá čísla (1,2,3,4...), takže 0 tam nepatří.

svatý halogan · 12. 05. 2009 11:48

↑ joker:↑ JOnas:

Nebral bych to tak jistě. Záleží na výkladu a oboru matematiky. Zde bych (vzhledem k tomu, že to je středoškolská matematika), bral v potaz kladná přirozená čísla, tj. {1, 2, 3, ...}

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2009 16:10

Posloupnosti

#2 11. 05. 2009 16:24

Re: Posloupnosti

#3 12. 05. 2009 07:39 — Editoval Cheop (12. 05. 2009 07:46)

Re: Posloupnosti

#4 12. 05. 2009 08:47 — Editoval Cheop (12. 05. 2009 09:09)

Re: Posloupnosti

#5 12. 05. 2009 11:22

Re: Posloupnosti

#6 12. 05. 2009 11:36

Re: Posloupnosti

#7 12. 05. 2009 11:38

Re: Posloupnosti

#8 12. 05. 2009 11:48

Re: Posloupnosti

Zápatí