Matematické Fórum

peetr1 · 12. 09. 2015 22:53

Bati napsal(a):
↑↑ peetr1:
No ono je to pak těžký si domejšlet správnej zápis, když ta úloha vypadá nějak jako ta kterou jsi zadal - nemusí to jít jednoznačně. Třeba už jenom to, že napíšeš $\sum_{k=1}^n\sum_{k=1}^n\ldots$ je nesmysl, protože ve vnitřní sumě používáš index, který už se používá na vnější sumu. To máš stejný jako když programuješ 2 do sebe vnořený cykly - překladač ti to taky nezkousne, pokud je oindexuješ stejnýma písmenama. Není pak prostě jasný, co chceš dělat.

Tedy v tvém případě, jestli chceš počítat $\sum_{k=1}^{n}\frac{sin\frac{(2k+1)x}{2}-sin\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}}$ , pomocí dvou sum to zapíšeš takhle: $\sum_{k=1}^{n}(\sum_{l=1}^{k}cos xl )$ , což je prostě něco úplně jinýho, než co jsi napsal.

S touhle konkrétní sumou nic jinýho neuděláš, což je tak nějak vidět z toho vyjádření přes dvojitou sumu - ať to budeš upravovat jakkoliv, vždycky zjistíš, že to je jen nějaký součet kosinů.

Tak teď tomu nerozumím, tady píšeš něco jiného.

Bati · 12. 09. 2015 22:58 — Editoval Bati (12. 09. 2015 23:11)

↑ peetr1:
Zápis $\sum_{k=1}^{n}(\sum_{l=1}^{k}cos xl )$ i $\sum_{k=1}^{n}(\sum_{l=1}^{n}cos xl )$ jsou oba ok, ale každý znamená něco jiného. Jsem si jistý, že jsi chtěl počítat to první, protože u toho druhého se vnější suma okamžitě redukuje na "n-krát", neboť vnitřní výraz nezávisí na indexu k.

Od toho jsme se pak přesunuli k diskuzi o tom, že není dobré opakovat indexy ve vnořených sumách (indexy nejsou spodní a horní meze). Jako důvod jsem uvedl prohazování sum a ukázal jsem příklad s posunutou spodní mezí z 1 na 2. Pokud bychom v tom případě prohodili sumy, je to stejná chyba, jako kdybychom si v nějakém výpočtu spletli písmenka.

Úplně logický důvod, proč se nepíšou opakované indexy je to, že jakmile je možnost indexy zopakovat, znamená to, že aspoň jedna ze sum se ihned redukuje a není třeba to psát tak složitě.

peetr1 · 12. 09. 2015 23:36 — Editoval peetr1 (12. 09. 2015 23:40)

Rozumím tomu dobře takto? pro n=4 bude:

$\sum_{k=1}^{n}(\sum_{l=1}^{k}l )= (1)+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)$

$\sum_{k=1}^{n}(\sum_{l=1}^{n}l )=(1)+(1+1+2+2)+(1+1+1+2+2+2+3+3+3)+(4*1+4*2+4*3+4*4)$

Bati · 12. 09. 2015 23:44

↑ peetr1:
To první je ok, to druhý ne, protože
$\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}l=\sum_{k=1}^n(1+2+3+4)=(1+2+3+4)\sum_{k=1}^n1=(1+2+3+4)n=n\sum_{l=1}^nl$

peetr1 · 13. 09. 2015 00:02 — Editoval peetr1 (13. 09. 2015 00:10)

Bati,

můžeš ještě druhý případ pro n=3?
$\sum_{k=2}^{n}\sum_{l=1}^{n}l^2=\sum_{k=2}^n(1+4+9)= ??$
Případně neznáš odkaz na nějaké skripta? Dík za ochotu a trpělivost. Čau

Bati · 13. 09. 2015 00:12 — Editoval Bati (13. 09. 2015 00:14)

↑ peetr1:
$\sum_{k=2}^{n}\sum_{l=1}^{n}l^2=\sum_{k=2}^{n}(\text{nezavisim na k})=(\text{nezavisim na k})\sum_{k=2}^{n}1=(n-1)(\text{nezavisim na k})=(n-1)\sum_{l=1}^{n}l^2$

Sorry, ale žádný skripta, ve kterých se vysvětluje sčítání neznám, protože jsem nikdy žádný nepotřeboval.

peetr1 · 13. 09. 2015 00:25 — Editoval peetr1 (13. 09. 2015 13:02)

Bati - OK
Snad jsi to myslel takto ?
$\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}l k=\sum_{k=1}^{n}(1+2+3) k=(1+2+3)\sum_{k=1}^{n}k=\sum_{l=1}^{n}l\sum_{k=1}^{n}k$
po prohození sum
$\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}l k=\sum_{l=1}^{n}(1+2+3) l=(1+2+3)\sum_{l=1}^{n}l=\sum_{k=1}^{n}k\sum_{l=1}^{n}l$

Nebo druhý vzor
$\sum_{k=2}^{n+3}\sum_{l=-1}^{n}2kl^2=\sum_{k=2}^{n+3}(1+0+1+4)2k=(1+0+1+4)\sum_{k=2}^{n+3}2k=\sum_{l=-1}^{n}l^2\sum_{k=2}^{n+3}2k$
po prohození sum tentýž výsledek

Nebo třetí vzor pro součet proměnných
$\sum_{k=1}^{n+1}\sum_{l=2}^{n+3}l^2+k=(n+2)\sum_{k=1}^{n+1}k+(n+1)\sum_{l=2}^{n+3}l^2$ po prohození sum tentýž výsledek

soběcheche soběcheche soběcheche

Bati · 13. 09. 2015 00:32

↑ peetr1:
Druhý rovnítko je špatně, protože to závisí na k a nemůžeš to vytknout. Proto jsem to tam psal, ale vidím, že ani to nepomohlo...dochází mi nápady...zkus se prosím víc snažit...začni tím, že si napíšeš všechny sumy pomocí +

peetr1 · 13. 09. 2015 11:39

Bati
můžeš mě to zkontrolovat? Dík

Bati · 13. 09. 2015 13:40 — Editoval Bati (13. 09. 2015 13:45)

↑ peetr1:
Super! Vypadá to, že ses přece jen něco naučil.
Teď když už víš, co se za těmi sumami skrývá, k tomu můžeš přistupovat trochu víc s nadhledem - konkrétně když mám třeba tohle: $\sum_{k=2}^{n+3}\sum_{l=-1}^{n}2kl^2$ . Hned vidím, že ve vnitřní sumě se sčítá přes l a k zůstává zatím konstatní. To znamená, že s ním můžu před sumu a ihned dostávám $2\sum_{k=2}^{n+3}k\sum_{l=-1}^{n}l^2$ . Teď se ještě můžu podívat na vnější sumu - sčítá se přes k, ale uvnitř je přinásobené číslo $\sum_{l=-1}^{n}l^2$ , které na k vůbec nezávisí. To znamená, že ho zas můžu vytkonut před sumu a dostanu $2\sum_{l=-1}^{n}l^2\sum_{k=2}^{n+3}k$ , což je to, k čemu by ses měl dostat prohozením sum. Všimni si, že pokud je výraz v sumách ve tvaru součinu, není třeba nic závorkovat.

Dále můžeš přemýšlet jak se prohodí sumy v takovém výrazu: $\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^kV(k,l)$ , kde $V(k,l)$ je nějaký výraz, který samozřejmě závisí na k i l.

peetr1 · 13. 09. 2015 18:36 — Editoval peetr1 (13. 09. 2015 19:49)

To Bati
díky moc za ochotu pomoci. Pomalu to začínám chápat. Budu přemýšlet dále.
Ještě předtím se však vrátím nazpět a mám k tomu jedinou připomínku. Všude spatřuji ekvivalenci levé a pravé strany zápisu výjma konstant, tedy:
Myslím, že správný formální zápis je tento: $\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}l=\sum_{k=1}^{n}1\sum_{l=1}^nl$ namísto $\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}l=n\sum_{l=1}^nl$ . Tedy bez té provedené operace sčítání.
Rozumím OK.

Bati · 13. 09. 2015 19:04

↑ peetr1:
To je všechno to samý a ty úpravy jsou triviální. Koukneš na $\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}l$ , vidíš že se sčítá přes k číslo $\sum_{l=1}^{n}l$ , který na k nezávisí, proto je to stejný jako n-krát to číslo.

peetr1 · 13. 09. 2015 19:56 — Editoval peetr1 (13. 09. 2015 20:50)

Bati

Mohlo by to tak být?
$\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^k(k^2+l)=\sum_{k=1}^nk^3+\sum_{l=1}^kl$ po prohození pořadí sumy $\sum_{l=1}^k\sum_{k=1}^n(k^2+l)=\sum_{k=1}^nk^2+\sum_{l=1}^knl$

$\sum_{k=1}^n\sum_{l=2}^{2k}(k-l)=\sum_{k=1}^n((2k-2)k)-\sum_{l=2}^{2k}l$ po prohození pořadí sumy $\sum_{l=2}^{2k}\sum_{k=1}^n(k-l)=\sum_{k=1}^nk-\sum_{l=2}^{2k}nl$

OK rozumím

Bati · 13. 09. 2015 20:39

↑ peetr1:
Pozor, tam už je třeba psát závorky, viz např. $n+5=\sum_{k=1}^n1+5\neq\sum_{k=1}^n(1+5)=6n$ , $n>1$ . Pokud je výraz v sumách ve tvaru součtu, můžeš použít komutaivitu a asociativitu sčítání a roztrhnout na 2 sumy. To už si přece dělal v tom tvém třetím příkladu. Tj.
$\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^k(k^2+l)=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^kk^2+\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^kl=\ldots$ .

peetr1 · 14. 09. 2015 18:18 — Editoval peetr1 (14. 09. 2015 18:39)

Bati
Ještě jsem zkusil napsat několik příkladů a k nim pár úvah, nebo otázek. Týká se to zápisu. Můžeš prosím připomínkovat formálnost zápisu v jazyce Tvého kmene?

$\sum_{k=lk}^{lkn}\sum_{l=k^2+l}^{lk^3}(l^2+\frac{1}{k^2})=\sum_{k=lk}^{lkn}((lk^3-k^2-l)\frac{1}{k^2})+\sum_{l=k^2+l}^{lk^3}l^2$
Zřejmě se mohou na spodek a vrch sumy psát smysluplné sumy, funkce a pod...Existují nějaké schémata pro práci s nimi? Po provedení součtu se musí zřejmě sumy přeindexovat.

$\sum_{l=2k}^{2n^2}\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=k^2}^{k^3}sin(\pi l-k)=...$
S tím se zřejmě nedají dělat úpravy, musí se postupně odstraňovat sumy zprava doleva. Případně i jiné funkční řady nelze více rozsekat.

$\sum_{k=k}^{3k}(2k+2+\sum_{k=3}^{k+3}\sum_{k=1}^{n}k)=\sum_{k=k}^{3k}(2k+2+\sum_{k=3}^{k+3}(\frac{k^2}{2}+\frac{k}{2}))=...$
Pokud je proměnná stejná, musí se postupovat stejně jako v předchozím případě zprava doleva, nic jiného se s tím nedá udělat. Rozhoduje uzávorkování. Důvodem takového zadání může být například úplnost v systému zadání, tato řada existuje. Nebo může být důvodem takového zadání záměr, know-how. Zřejmě se musí taky přeindexovávat.

Děkuji.
P.S. jsem se do toho tak zahleděl, že jsem ani neodpověděl k připomínce tykání. Taky je mě to příjemnější. Jsem méně pokročilý student.

Bati · 16. 09. 2015 13:28

Ahoj ↑ peetr1:.
To jsou naprostý ptákoviny... Třeba jak tam máš pod sumou $l=k^2+l$ . Z toho okamžitě plyne $k=0$ a o $l$ to neříká vůbec nic, přestože $l$ je ten symbol před rovnítkem pod sumou, který se bere jako index. To samý s $k=lk$ . Horní meze můžou být libovolné, ale logicky nemůžou záviset na indexu dané sumy. Obecně se dá říct, že platnost indexu končí vně hranic sumy, která ho definuje, pak už nemá vůbec žádný význam. To nás sice opravňuje použít ten samý znak pro nový index, ale je to naprosto nežádoucí, jak jsem už několikrát vysvětloval. V matematice se snažíme o co největší přehlednost pro člověka, ne pro počítač.

peetr1 · 18. 09. 2015 19:05

↑↑ Bati:

Nějak se v tom ztrácím, můj buffer je přeplněn. Jdu to ještě celé studovat, nemám odvahu se v tuto chvíli na nic ptát.
Pro relax jsem zkonstruoval tento vcelku jednoduchý příklad a docela by mě zajímalo, jak takovou úlohu řešíš podle Tvého schématu.
Zatím čus a děkuji za odpovědi na mé stupidní otázky, získal jsem trochu přehled

Příklad:
$\sum_{k=1}^{n}4(3k-1)cos(4k-2)sin2$

dopracuješ se k tomuto výsledku:
$2\{sin(4n)(3n+2)-\frac{3sin(2n+2)sin(2n)}{sin2}\}$

Bati · 20. 09. 2015 15:42 — Editoval Bati (20. 09. 2015 15:47)

↑ peetr1:
Ahoj,
nejsem si úplně jistý, kam má patřit ten $\sin2$ , ale z hlediska postupu, který bych použil je to jedno. Nejdřív bych si spočítal $\sum_{k=1}^nk\cos((4k-2)x)$ , $x\in\mathbb{R}$ pomocí známého Abelovo vzorce (něco jako per partes pro sumy) a pak bych to použil na konkrétní příklad.
Pokud ty, nebo někdo jiný o to nebude hodně stát, tak podrobný výpočet dělat nebudu, protože mě nezajímá.

peetr1 · 21. 09. 2015 20:50 — Editoval peetr1 (21. 09. 2015 20:51)

↑↑ Bati:

Ahoj. výpočet je samozřejmě možný více způsoby. Zřejmě i popsaným způsobem. Máš přehled, supr.
Přemýšlel jsem ještě o značení řad. Je- např. řada $\sum_{k=p(-1)^p}^{p}k$ . Když vezmu zápis pod sumou, tak proměnná je $k$ , tomu se říká index. Za rovnítkem je spodní hodnota proměnné, nad sumou je horní hodnota proměnné? Nebo jek se to správně nazývá? Já tomu rozumím tak, že proměnná $k$ se ve výraze za sumou mění s každým členem po jedničkách v uzavřeném intervalu $\langle{p(-1)^p;p}\rangle$ . Symbol $p$ je parametr, který určuje počet členů v součtu. V tomto případě pro volbu $p=$ sudé, bude mít suma pouze právě jeden člen, pro $p=$ liché, bude mít suma $2p$ členů.

Například pro parametr: $p$ je přirozené číslo větší než jedna a tuto řadu: $\sum_{k=p(-1)^p}^{p}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}$
bude potom její součet $\frac{1-2p(-1)^p}{p^4+2p^3-2p^3(-1)^p-2p^2(-1)^p+2p(-1)^p-p}$ . Parametr je možné vložit i do výrazu za sumou, jak demonstruje tento příklad...

PS: Dík za bodík

Bati · 22. 09. 2015 10:17

Ahoj, ↑ peetr1:
těm číslům se říká index, spodní mez a horní mez. Jejich funkci jsi pochopil správně. Se zápisem $\sum_{k=p(-1)^p}^{p}\ldots$ se ovšem pravděpodobně nikdy nesetkáš. Suma je nástroj, který umožňuje zapsat složité součty jednoduše a nahrazuje (nejednoznačný nebo zdlouhavý) zápis pomocí tří teček. Nepoužívá se k tomu, abychom zapisovali jednoduché věci složitým způsobem.

Není mi jasné, jak jsi dospěl k tomu součtu, mám o tom pochybnosti.

peetr1 · 23. 09. 2015 19:37

↑↑ Bati:

Ahoj. Napsat složité věci jednoduše, s tím souhlasím. Jestli jsi měl na mysli příklad s podílem polynomů, tak ano, meze byly zvolené dosti nešťastně. Potom to svádí oprávněně k tomuto zápisu: $\sum_{k=p(-1)^p}^{p(-1)^p}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}$ . Jistě jsi postřehl, že součet $2p$ členů: dolní mez = $-p$ , horní mez = $p$ je rovna právě tomuto jednomu $p(-1)^p$ členu. Takže ok, řadu lze přepsat do jiných mezí a vyjádřit součet jednodušeji.

Pokud však zvolím jiné meze u stejného podílu polynomů, například:
$\sum_{k=p+p(-1)^p}^{2p^2-p(-1)^p+2}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}$ , jednoduchou cestu musíš nahradit složitější. Pokud budeš dobře počítat, součet bude tento: $\frac{-4p^4-7p^2-2p-3+(4p^3+2p^2+2p)(-1)^p}{p(8p^5-12p^4+26p^3-15p^2+13p-3+(-1)^p(8p^5-16p^4+22p^3-24p^2+8p-6))}$

Výsledek si můžeš ověřit v tomto exel sešitě: http://ulozto.cz/x58GhVP6/sesit1-xls

Myslíš, že lze tuto řadu přepsat do jiných mezí a zjednodušit tak zápis, případně výsledek součtu?

Bati · 25. 09. 2015 18:28

↑ peetr1:
Moc nechápu tvojí pointu. "Suma" $\sum_{k=p(-1)^p}^{p(-1)^p}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}$ má pouze jeden člen.

V zásadě jsem se tě ptal na to, jak jsi dokázal, že $\sum_{k=p(-1)^p}^{p}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}=\frac{1-2p(-1)^p}{p^4+2p^3-2p^3(-1)^p-2p^2(-1)^p+2p(-1)^p-p}$ , nebo
$\sum_{k=p+p(-1)^p}^{2p^2-p(-1)^p+2}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}=\frac{-4p^4-7p^2-2p-3+(4p^3+2p^2+2p)(-1)^p}{p(8p^5-12p^4+26p^3-15p^2+13p-3+(-1)^p(8p^5-16p^4+22p^3-24p^2+8p-6))}$

Tabulka s pár čísly nedokazuje vůbec nic.

peetr1 · 26. 09. 2015 20:41

↑↑ Bati:

Ahoj.
Pointa je v tom, že tento jeden člen je rovný těm 2p členům, stačilo tedy napsat:
$\sum_{k=p(-1)^p}^{p(-1)^p}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}=\sum_{k=p(-1)^p}^{p}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}$

Tabulka s čísly nedokazuje nic, to je fakt. Navíc je ten podíl polynomů pro ilustraci nevhodný. Pokud zvolím periodickou funkci, možná výsledek stojí za úvahu:
např:
$\sum_{k=p(-1)^p-3}^{p+p(-1)^p+2}sin(2kp+p)sinp=sin[p^2+2p^2(-1)^p]sin(p^2+6p)$

sešit ke stažení je tady: http://uloz.to/xWD2eNSq/sesit1-xls

Bati · 28. 09. 2015 10:18

Ahoj,
rovnost
$\sum_{k=p(-1)^p}^{p(-1)^p}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}=\sum_{k=p(-1)^p}^{p}\frac{1-2k}{k^4-2k^3+2pk^2-2pk+p^2-k^2+2k-p}$
neplatí (např. pro p=1). Zřejmě provádíš nějakou chybnou elementární úvahu, ale nevím jakou.

Matematické Fórum

#26 12. 09. 2015 22:53

Re: Částečný součet a a částečný součin

Bati napsal(a):

#27 12. 09. 2015 22:58 — Editoval Bati (12. 09. 2015 23:11)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#28 12. 09. 2015 23:36 — Editoval peetr1 (12. 09. 2015 23:40)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#29 12. 09. 2015 23:44

Re: Částečný součet a a částečný součin

#30 13. 09. 2015 00:02 — Editoval peetr1 (13. 09. 2015 00:10)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#31 13. 09. 2015 00:12 — Editoval Bati (13. 09. 2015 00:14)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#32 13. 09. 2015 00:25 — Editoval peetr1 (13. 09. 2015 13:02)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#33 13. 09. 2015 00:32

Re: Částečný součet a a částečný součin

#34 13. 09. 2015 11:39

Re: Částečný součet a a částečný součin

#35 13. 09. 2015 13:40 — Editoval Bati (13. 09. 2015 13:45)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#36 13. 09. 2015 18:36 — Editoval peetr1 (13. 09. 2015 19:49)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#37 13. 09. 2015 19:04

Re: Částečný součet a a částečný součin

#38 13. 09. 2015 19:56 — Editoval peetr1 (13. 09. 2015 20:50)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#39 13. 09. 2015 20:39

Re: Částečný součet a a částečný součin

#40 14. 09. 2015 18:18 — Editoval peetr1 (14. 09. 2015 18:39)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#41 16. 09. 2015 13:28

Re: Částečný součet a a částečný součin

#42 18. 09. 2015 19:05

Re: Částečný součet a a částečný součin

#43 18. 09. 2015 21:26 — Editoval peetr1 (18. 09. 2015 21:28) Příspěvek uživatele peetr1 byl skryt uživatelem peetr1. Důvod: Blbost

#44 20. 09. 2015 15:42 — Editoval Bati (20. 09. 2015 15:47)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#45 21. 09. 2015 20:50 — Editoval peetr1 (21. 09. 2015 20:51)

Re: Částečný součet a a částečný součin

#46 22. 09. 2015 10:17

Re: Částečný součet a a částečný součin

#47 23. 09. 2015 19:37

Re: Částečný součet a a částečný součin

#48 25. 09. 2015 18:28

Re: Částečný součet a a částečný součin

#49 26. 09. 2015 20:41

Re: Částečný součet a a částečný součin

#50 28. 09. 2015 10:18

Re: Částečný součet a a částečný součin

Zápatí