Matematické Fórum

dash · 13. 10. 2015 21:38 — Editoval dash (13. 10. 2015 21:40)

Potreboval by som odvodiť obecný vzťah pre výpočet determinantu takejto matice $M^{(n-1) \times (n-1)}$ :

$\begin{bmatrix} n-1 & -1 & \dots & -1 \\ -1& n-1 & \dots & -1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & \dots & n-1 \\ \end{bmatrix}$

Dočítal som sa, že výsledok sa dá vyjadriť ako súčin vlastných čísel $1$ s multiplicitou $1$ a $n$ s multiplicitou $(n-2)$ , teda niečo ako $det(M)=\prod_{i=1}^{n-1} \lambda_i= n^{n-2}$ . (Cayley's formula)

Vie mi niekto poradiť, ako sme získali hodnoty a multiplicity tých vlastných čísel?

Ďakujem.

Xellos · 13. 10. 2015 22:02

Ja by som to riesil takto:

Odpocitajme nejaky riadok od nejakeho ineho ( $i$ -ty od $j$ -teho); vieme ze to nemeni determinant. Ich rozdiel je riadok, ktory ma v $i$ -tom stlpci $n$ , v $j$ -tom $-n$ a vsade inde nuly.

Odratame teda posledny riadok od zvysnych a dostaneme maticu ktora ma v kazdom riadku okrem posledneho na diagonale $n$ a v poslednom stlpci $-n$ . Vydelme kazdy z tychto riadkov $n$ , cim determinant vydelime $n^{n-2}$ . Teraz v kazdom riadku okrem posledneho je na diagonale 1 a v poslednom stlpci -1.

Priratajme vsetky riadky k poslednemu. Tym sa -1tky v nom vynuluju a k $n-1$ sa prirata $-(n-2)$ , dostaneme maticu ktora ma v poslednom riadku len jedine nenulove cislo (1tku v poslednom stlpci). Tento riadok priratame k zvysnym a mame jednotkovu maticu, ktorej determinant je 1 = determinant povodnej matice vydeleny $n^{n-2}$ . Determinant povodnej matice je teda $n^{n-2}$ .

dash · 13. 10. 2015 22:25

Super, to je presne ono. Dakujem.

vanok · 13. 10. 2015 22:42 — Editoval vanok (14. 10. 2015 02:05)

Ahoj,
Poznamka 1
Najprv trochu podobna situacia, kde ide o matice typu (n,n) : vtedy lahko konstatujes, ze sucet stlpcov matice je nulovy vektor.
Tak aj determinant je 0.
Inac vtedy, sa da vidiet, napr. pre n=4, mas trojite vlastne cislo 4, a jednoduche vlastne cislo 0.
Podobna vlasnost plait pre ine n.
Dokaz si to, ak ta to zaujima.
Poznamka 2:
Co sa tyka tvojej matice, su aj ine metody.

vanok · 15. 10. 2015 22:00 — Editoval vanok (15. 10. 2015 22:01)

Taka jedna z method co sa da pouzit na najdenie daneho determinantu, je vysetrenie determinantu
$\begin{bmatrix} a_1+x& x & \dots & x \\ x&a_2+ x & \dots & x \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x & x & \dots & a_{n-1}+x \\ \end{bmatrix}$

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2015 21:38 — Editoval dash (13. 10. 2015 21:40)

Determinant (n-1)x(n-1) matice

#2 13. 10. 2015 22:02

Re: Determinant (n-1)x(n-1) matice

#3 13. 10. 2015 22:25

Re: Determinant (n-1)x(n-1) matice

#4 13. 10. 2015 22:42 — Editoval vanok (14. 10. 2015 02:05)

Re: Determinant (n-1)x(n-1) matice

#5 15. 10. 2015 22:00 — Editoval vanok (15. 10. 2015 22:01)

Re: Determinant (n-1)x(n-1) matice

Zápatí