Matematické Fórum

Ondrik_B · 18. 10. 2015 18:41

Ahoj, uloha je nasledujici:

Vuz se muze rozjizdet nejvyse se zrchlenim "a". Brzdit nejvyse se zpozdenim "a". Jakym zpusobem lze timto vozem nejrychleji projet drahu L, pokud se na zacatku rozjizdi vuz z klidu a na koneci se ma vuz zastavit.

Intuitivne mi je vysledek jasny, nejprve bude zrychlovat az do vzdalenosti L/2 a pak zacne brzdit a vyjde mu to akorat. (koresponduje s vysledky v ucebnici)

Spis by me ale zajimalo jak takovy vysledek dokazat. Myslim ze by to mohlo jit ucinit tak, ze bychom sestavili funkci, ktera by popisovala potrebny cas ke zdolani vzadelnosti v zavislosti na tom, jak dlouho auto zrchluje resp. zpomaluje a jak dlouho jede konstantni rychlosti.

No a tu funkci bychom potom zderivovaly a nasli maximum.

Zasekl jsem se vsak na tom, jak takovou funkci sestavit, aby tam vystupovalo jenom to co je v zadani. Mel by nekdo nejakou radu?

Dik y.

zdenek1 · 18. 10. 2015 19:00

↑ Ondrik_B:
$L=\frac12(T+t)\cdot a\frac{T-t}{2}$
kde $T$ je celková doba jízdy a $t$ doba, po kterou jede konst. rychlostí.
Vyjádři si $T(t)$ a hledej minimum.

Poznámka: toto ale není důkaz. Nezkoumáš situaci, kdy auto během jízdy mění zrychlení.

Ondrik_B · 19. 10. 2015 20:22

Jenom jestli spravne chapu jak jste to sestavil.

Vyraz lze upravit na tvar:

$L=\frac {1}{2}(\frac{1}{2} \cdot a \cdot T^2 - \frac {1}{2} \cdot a \cdot t^2 )$

Kde ta prvni jedna polovina reprezentuje to, ze se bavim o pulce te drahy, protoze to jak projede prvni pulku musi byt symetricky s tim jak projede tu druhou.

A ten clen s T^2 vyjadruje ujetou drahu pokud by zrychloval celou dobu a od toho odectu drahu kterou nezrychloval.

Overenim na konkretnim prikladu jsem si overil, ze mi takova funkce dava presne to co chci.

Jenom bych vas jeste poprosil o radu, ci navod, jak se to odvozuje.

zdenek1 · 19. 10. 2015 21:27

↑ Ondrik_B:
Já si představím graf
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/82711_pic.png
dráha odpovídá ploše pod grafem, a graf je lichoběžník, jeho obsah znám z geometrie $S=\frac{T+t}2v$
a rychlost normálně z $v=a\frac{T-t}2$

Ondrik_B · 20. 10. 2015 13:31

↑ zdenek1:

Diky, ted je mi to uz jasne.

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2015 18:41

Kinematika, prvni semestr VS

#2 18. 10. 2015 19:00

Re: Kinematika, prvni semestr VS

#3 19. 10. 2015 20:22

Re: Kinematika, prvni semestr VS

#4 19. 10. 2015 21:27

Re: Kinematika, prvni semestr VS

#5 20. 10. 2015 13:31

Re: Kinematika, prvni semestr VS

Zápatí