Matematické Fórum

jendula11

Dobrý den,

poprosil bych o kontrolu s výpočtem následujícího integrálu. Pro řešení jsem zvolil metodu na základě univerzální goniometrické substituce:

$\int_{}^{}\frac{sin(x)}{sin(x)+cos(x)}dx$

Substituce:

$tg(\frac{x}{2})=t$
$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$
$sin(x)=\frac{2t}{1+t^{2}}$ , $cos(x)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

$\int_{}^{}\frac{sin(x)}{sin(x)+cos(x)}dx=\int_{}^{}\frac{4t}{(2t+1-t^{2})(1+t^{2})}dt$

Rozklad na parciální zlomky:

$\frac{4t}{(2t+1-t^{2})(1+t^{2})}=\frac{A}{t-1+\sqrt{2}}+\frac{B}{t-1-\sqrt{2}}+\frac{Cx+D}{1+t^{2}}$

Jen se mi zdá, že ty parciální zlomky divně vychází, tak bych poprosil o kontrolu.

byk7 · 26. 10. 2015 21:17

Podle mě by měl být ten první kvadratický polynom tvaru $t^2+2t-1$ .

Jj · 27. 10. 2015 09:49

↑ jendula11:

Dobrý den.

Poněkud mimo dotaz, ale uvedu možná trochu zajímavé řešení tohoto integrálu úpravou integrandu:

$I = \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx =\int \frac{\sin x + \cos x - \cos x}{\sin x+\cos x}\,dx=\int \left(1-\frac{ \cos x}{\sin x+\cos x}\right)\,dx=$

$=x-\int \frac{ \cos x-\sin x + sin x}{\sin x+\cos x}\,dx=x-\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx-\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx=$

$=x- \ln |\sin x+\cos x|- I + C\Rightarrow I = \frac{1}{2}(x- \ln |\sin x+\cos x|) + C_1$

kaja.marik

↑ Jj: - velice pekne reseni

Jeste pridam treti moznost (klasicky postup, ale bez univerzalni substituce): substituce tan(x)=t
Univerzalni substituce je vetsinou to co clovek pouzije kdyz vse ostatni selhava (aspon v naproste vetsine pripadu vychazi hur nez cokoliv jineho)

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2015 20:02 — Editoval jendula11 (26. 10. 2015 20:20)

výpočet neurčitého integrálu

#2 26. 10. 2015 21:17

Re: výpočet neurčitého integrálu

#3 27. 10. 2015 09:49

Re: výpočet neurčitého integrálu

#4 27. 10. 2015 10:47 — Editoval kaja.marik (27. 10. 2015 10:49)

Re: výpočet neurčitého integrálu

Zápatí