Matematické Fórum

Pavel Brožek · 13. 05. 2009 17:54

Když jsem viděl název tématu v úlohách z fyziky Nabita nit, hned mě napadlo tohle zadání:

Máme nabitou nit délky $l$ , lineární hustota náboje $\tau$ je po její délce konstantní. Nit v polovině její délky zavěsíme (tak, že neprobíhá přenos náboje) v homogenním gravitačním poli s gravitačním zrychlením $g$ . Jaký tvar nit zaujme (po ustálení pohybu díky tření)?

Zatím jsem úlohu neřešil. Protože jsem si zadání vymyslel, tak je dost možné, že úloha analyticky vyřešit nepůjde. Ale můžete to zkusit :-)

rughar · 04. 06. 2009 18:58

Inu. Něco bych zkusil. Už od pohledu je příklad složitý jak mraky, takže jsem rovnou překročil k numerickému počítání. Použil jsem drobné přiblížení. Drát jsem nahradil soustavou bodových nábojů, které jsou od sebe vzdáleny konstantní vzdáleností. Do vodiče jsem umístil 41 bodových nábojů. Spočetl jsem si výslednou energii elektrostatického pole

$w = \sum_{i,j} q_i\phi_{ij}$

kde i a j indexují náboje. Suma se provádí pro všechna i,j mimo i = j. Následně jsem každému náboji přiřadl hmotnost a vyjádřil si celkovou potenciální energii drátu. Výsledná křivka, kterou opisují bodové náboje má tvar

$y = -|1,3065x+0,4263x^2-0,0417x^3+0,0044x^4|$

Konstanty jsem dosadil velmi zjednodušeně. Uvažoval jsem q/4*pi*eps = g = 1 a zároveň vzdálenost dvou sousedních nábojů je pevně 1. Vyšší než 5.té řády velmi rychle klesají. Zajímavostí je výskyt lineárního členu, kterému lze věřit docela přesně (odpovídá stejně i pro odlišné počty nábojů). Je stejně dost možné, že vznikl čistě z nedokonalosti modelu, ačkoli nevymizí ani pro velké množství nábojů. Při tomtmto přiblížení vzniká v místě uchycení zlom, což znamená výskyt křivosti na menší škále, než je vzdálenost dvou sousedních nábojů ať už bereme tuto vzdálenost jakoukolliv. Není tedy splněn předpoklad, že mezi náboji je tvar vodiče lineární, čili v tomto lineárním členu může být pochybnost.

Jinak mě nenapadá, jak tento příklad jednoduše řešit. Možná lepším modelem by bylo najít vztah mezi křivostí vodiče a energií el. pole. Variační principy zde mimochodem mají trochu problém. Nejedná se o úlohu s pevnými konci.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2009 17:54

Nabitá nit

#2 04. 06. 2009 18:58

Re: Nabitá nit