Matematické Fórum

krauva · 01. 11. 2015 19:40

Ahojte,
nevím kam to zařadit, tak jsem to dal sem. Měl bych dotaz na toto:
Hledám taková přirozená čísla a,b, pro která platí, že výsledkem následující operace s nimi je opět přirozené číslo n
$n=\frac{ab}{a+b}$
Postupným zkoušením jsem takovou dvojici čísel našel, ale zajímalo by mě, jestli existuje nějaký návod, pomůcka jak ji najít, či důkaz toho, že taková dvojice pro daný vztah (i jiný) neexistuje.
Díky

byk7 · 01. 11. 2015 22:19

Výhodná bývá úprava na součin, tady např.
$n=\frac{ab}{a+b}\quad\Leftrightarrow\quad n(a+b)=ab\quad\Leftrightarrow\quad ab-na-nb=0\quad\Leftrightarrow\quad(a-n)(b-n)=n^2$
odtud by už mělo jít vidět, že pro libovolné $n$ nějaká vyhovující $a,b$ existovat budou.

Obecněji se ptáš na řešitelnost rovnic v oboru přirozených (popř. celých nebo racionálních) čísel. Bohužel, obecná odpověď není možná a víceméně každá taková rovnice (říká se jí diofantická nebo diofantovská) vyžaduje indiviuální přístup.

VaK · 02. 11. 2015 19:25

Dobrý den,
jiným způsobem úprav dostaneme:
a=nb/(b-n) , b-n=k , b=k+n
a=(n**2+nk)/k = n**2/k+n , n=kl
tedy: a=kl(l+1) , b=k(l+1) , n=kl
k=1,2,... , l=1,2,...
Je otázka, jestli takto dostaneme všechna

řešení.
S pozdravem VaK.

byk7 · 02. 11. 2015 19:29

↑ VaK: Nedostaneme, stačí vzít $k$ splňující $k\nmid n,k\mid n^2$ .

check_drummer · 03. 11. 2015 01:00

Ahoj,
úpravami zjistíme, že jde vlastně o to vyjářit zlomek 1/n jako součet 1/a+1/b. Možná by pomohla teorie o kmenných zlomcích.

Honzc · 03. 11. 2015 14:17

↑ krauva:
Kdysi jsem řešil "obrácenou úlohu" tedy pro zadané n spočítat to co navrhuje ↑ check_drummer:
tedy 1/n = 1/a+1/b
Program na tento výpočet si můžeš stáhnoutZde

BakyX · 03. 11. 2015 17:32

Všetky riešenia vygenerujeme ľahko.

Ak $(a,b)=d$ , tak $a=kd$ , $b=ld$ , kde $(k,l)=1$ . Potom

$\frac{ab}{a+b}=\frac{kld}{k+l}$

Zrejme však $(k,k+l)=(l,k+l)=1$ , takže nutne $k+l \,|\, d$ , z čoho $d=m(k+l)$ . Potom

$\frac{ab}{a+b} = klm$

Všetky dvojice $(a,b)$ sa teda dajú napísať ako $(m(k+l)k, m(k+l)l)$ , kde $(k,l)=1$ .

Z toho sa potom dajú ľahko robiť ďalšie úvahy o takých číslach...