Matematické Fórum

Dasa18 · 22. 11. 2015 18:52

Ahojte, potřebovala bych poradit s jedním příkladem.
Najděte pohybovou rovnici matematického kyvadla, jehož bod závěsu vertikálně mění svou polohu podle předpisu y=a(t). Omezte se na malé kmity.
Děkuji za jakékoliv rady.

Brzls · 23. 11. 2015 18:25

Čau

Tak v úvahu připadají asi dva možné přístupy. První je řešit pomocí Lagrangeových rovnic druhého druhu (máte je probrané??), je to sice zdlouhavé, nicméně nevyžaduje to moc přemýšlení, spíše jde o mechanické počítání.

Druhá možnost je úvahou.
Systém budeme zkoumat v NEINERCIÁLNÍ vztažné soustavě spojené se závěsem. V této soustavě bude kromě gravitační síly působit ještě síla setrvačná, o velikosti $m\frac{\mathrm{d} ^{2}a}{\mathrm{d} t^{2}}$ celková síla působící na těleso tedy bude $m(g+\frac{\mathrm{d} ^{2}a}{\mathrm{d} t^{2}})$

Zbytek odvození bude probíhat stejně jako při odvozování pohybové rovnice klasického matematického kyvadla (moment síly je úměrný úhlovému zrychlení atd.) a dostaneme
$\frac{\mathrm{d} ^{2}\varphi }{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{(g+\frac{\mathrm{d} ^{2}a}{\mathrm{d} t^{2}})}{l}sin\varphi =0$

Dasa18 · 23. 11. 2015 18:57

Ano probírali jsme Lagrangeovy rovnice, ale právě nevím jak je sestavit pro daný příklad...kdyby jsi mi poradil jak na ně tak bych ti byla moc vděčná...

Brzls · 23. 11. 2015 19:12 — Editoval Brzls (23. 11. 2015 19:12)

↑ Dasa18:

Tak za zobecněnou souřadnici zvol úhel který svírá osa y se závěsem (jako u normálního mat. kyvadla)
POčátek umísti tak, aby se pro a=0 závěs nacházel v počátku. (udělej si obrázek)
1. Jaký je vztah mezi x-ovou souřadnicí a tímto úhlem? (pomocí veličin x,l,fí)
2. Jaký je vztah mezi y-ovou souřadnicí a tímto úhlem? (pomocí veličin y,l,fí,a(t))?

3. Zderivuj první rovnici a umocni na druhou
4. Zderivuj druhou rovnici a umocni na druhou

5. Sestav Lagrangeovu funkci $L=\frac{1}{2}m((\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^{2}+(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t})^{2})-mgy$ (to znamená dosaď tam ty derivace z bodů 3. 4. a za ypsilon z 2.

6. Pokud neumíš sestavit dál Lagrangeovu rovnici, tak to probereme potom

Který z těchto bodů dělá problém? Jak si o tohoto bodu zkoušela postupovat? Případně pokud body 1. až 5. nedělají problém, tak s čím si přesně nevíš rady?

Dasa18 · 24. 11. 2015 16:01

No tak k bodu 1.- my vyšel vztah x=cos(fí)*l, v bodě 2. nevím jak tam zakomponovat to a(t)..když to tam nezakomponuju tak mám rovnici y=sin(fí)*l, a u 3. a 4. nevím jestli mám derivovat podle fí nebo polde l, nebo podle něčeho úplně jiného???

Brzls · 24. 11. 2015 20:06 — Editoval Brzls (24. 11. 2015 20:06)

↑ Dasa18:
Tak co se týče bodu dva, tak doporučuji nakreslit obrázek. Já bych ho sem rád dal, aby to bylo jasné jenže není moc času.
Měla by si dostat, že $y=a(t)-l*\cos \varphi$ a $x=l\sin\varphi$
Ty to máš naopak, to může být tím, že si za proměnou vzala jiný úhel než já. Já zvolil úhel mezi závěsem a osou ypsilon.
Samozřejmě tvoje volba je teoreticky taky v pořádku, za zobecnénou souřadnici si můžeš zvolit v podstatě cokoli. Jenže tvoje volba je značně nepraktická.

K bodům 3. a 4.

Lagrangeova funkce má tvar $L=T-V$
KInetická energie je rovna $T=\frac{1}{2}m((\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^{2}+(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t})^{2})$
To je předpokládám jasné, to je prostě jinak zapsáno $T=\frac{1}{2}mv^{2}$
Symbol $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ značí derivaci podle času. Tudíž rovnice 3. a 4. musíš zderivovat podle času. Kdyby si to zderivovala podle něčeho jiného, tak to k ničemu nebude, neboť taková veličina nás nezajímá, a ni nemá žádnou rozumnou intepretaci.

Napiš tedy jak ti tedy vyšlo $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ a $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$
jak ti vyšlo $T=\frac{1}{2}m((\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^{2}+(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t})^{2})$
a pak jak ti tedy vyšlo $L=T-V$

Zkus dosadit do lagrangeových rovnic. Pokud vevíš jak v nich derivovat, napiš sem alespoň Lagrangeovy rovnice.

Dasa18 · 24. 11. 2015 21:40

jo takže derivace x=l*cos(fí)*derivované(fí)
derivace y= derivované(a)-l*sin(fí)*derivované(fí)
když to dosadím do T tak dostanu T= 1/2*m $[l^{2}*cos^{2}(fí)*derivované(fí)+(derivované(a)-l*sin(fí)*derivované(fí)^{2} ]$
potom V=-mg(a+l*cos(fí))
A L=1/2*m $[l^{2}*cos^{2}(fí)*derivované(fí)+(derivované(a)-l*sin(fí)*derivované(fí)^{2} ]+mg(a+lcos(fí)$
Je to tak správně nebo tam mám někde chybu???
A Lagrangeova rovnice potom bude $d/dt*\frac{\partial L}{\partial (derivované(fí))}=\frac{\partial L }{\partial (fí)}$

Dasa18 · 24. 11. 2015 21:47

jo takže derivace x=l*cos(fí)*derivované(fí)
derivace y= derivované(a)-l*sin(fí)*derivované(fí)
když to dosadím do T tak dostanu T= 1/2*m*(/ $\wedge 2$ *cos $\wedge 2$ (fí)*(derivované(fí)) $\wedge 2$ +(derivované(a)-l*sin(fí)*derivované(fí)) $\wedge 2$ )
potom V=-mg(a+l*cos(fí))
Je to tak správně nebo tam mám někde chybu???
A Lagrangeova rovnice potom bude d/dt*(parciální derivace L podle derivovaného(fí))=parciální derivace L podle (fí)

Brzls · 25. 11. 2015 00:36

↑ Dasa18:
Skoro :)

jelikož se cosinus derivuje na mínus sínus, tak v té druhé závorce je plus a ne mínus.
Pak jeětě pomůže když si tu závorku rozepíšeš, protože dva členy půjde upravit, neboť sinus na druhou plus cosinus na druhou je 1.

jo a taky ještě koukám tak V=-mg(a-l*cos(fí)) takže si akorát nějak prohodila znaménko u toho ypsilon

Lagrangeova rovnice je tak jak píšeš, tak stačí když to ještě opravíš, upravíš a dosadíš

Dasa18 · 25. 11. 2015 09:39

Jo takže po úpravách mi vyjde T=1/2*m(l $^{2}$ *(derivované(fí)) $^{2}$ +(derivované(a)) $^{2}$ +2lsin(fí)*(derivované(fí)))

Potom L=1/2*m(l $^{2}$ *(derivované(fí)) $^{2}$ +(derivované(a)) $^{2}$ +2lsin(fí)*(derivované(fí)))+mg(a-lcos(fí)

parciální derivace L podle derivovaného(fí) je m*l $^{2}$ (dvakrát derivované(fí))+m*l*sin(fí)
parciální derivace l podle (fí) je ml(derivované(fí))+mgl*sin(fí)

...je to tak správně????
a jek potom zderivuje parciální derivace L podle derivovaného(fí) podle t????? s tím mám problém...

Brzls · 25. 11. 2015 13:24 — Editoval Brzls (25. 11. 2015 13:25)

↑ Dasa18:
Jo, omlouvám se vloudil se mi tam překlep, potenciál má být V=mgy=mg(a-l*cos(fí)). Tak abych to shrnul. Dopočítali jsme se po opravách k Lagarangeovi funkci
$L=\frac{1}{2}m(l^{2} \dot{\varphi }^{2}+\dot{a}^{2}+2l\dot{a}\dot{\varphi }\sin \varphi )-mg(a-l\cos \varphi )$

To je jasné?

nyní
$\frac{\partial L}{\partial \varphi }=ml\dot{a}\dot{\varphi }\cos \varphi -mgl\sin \varphi$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=ml^{2} \dot{\varphi }+ml\dot{a}\sin \varphi$
to je taky jasné?
no a teďka se to prostě derivuje jako oučet součin a složená funkce
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=ml^{2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \dot{\varphi }+ml\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\dot{a}\sin \varphi$
kde $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \dot{\varphi }$ je předpokládám jasné a $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\dot{a}\sin \varphi$ není nic jiného než derivace součinu. Nezapomeň že sin(fí) je složená funkce, tedy $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\sin \varphi =\cos \varphi \cdot \dot{\varphi }$

no a když to teda všechno dosadíš, tak se ti dva členy odečtou, u dvou se dá vytknout sinus, vyfělíš delou rovnici ml na druhou a dostaneš to co jsem psal na začátku tedy $\frac{\mathrm{d} ^{2}\varphi }{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{(g+\frac{\mathrm{d} ^{2}a}{\mathrm{d} t^{2}})}{l}sin\varphi =0$

Vyšlo?