Matematické Fórum

Mephisto

Existuje libovolně rychle rostoucí analytická funkce?

Zejména, existuje např. analytická funkce, která roste alespoň tak rychle jako 2^^n, n={1..n}? (Operátor ^^ značí Knuthovu operaci tetrace).

Odpověď neznám. Moje domněnka je, že odpověď na první otázku je téměř jistě NE, a na druhou dost možná též NE.

Jinak, triviálně existuje libovolně rychle rostoucí spojitá funkce. To je asi zřejmé, není-liž pravda ;)

Bati · 26. 11. 2015 23:30

↑ Mephisto:
Ta první otázka je dost divná...vlastně odpovídá sama sobě. Pokud by taková funkce existovala, pak vykazuje určitý růst a nemůžeme říkat, že "roste" libovolně rychle. Navíc ta existence okamžitě vede ke sporu, protože $f^2$ bude taky analytická funkce, která poroste rychleji.
Na druhou otázku odpověď neznám.

Mephisto

Já jsem tu první otázku myslel jinak, měl jsem to rovnou zformulovat korektně. Myslel jsem tím, že je-li dána nějaká rychlost růstu (například posloupností přirozených čísel), pak se ptám, zda vždy existuje analytická funkce, která roste ALESPOŇ takto rychle.

Čili, formálně, ptám se, zda pro každou posloupnost $\{a_n\} n \in N$ existuje analytická reálná rostoucí funkce f, tak, že $\forall n \in N \, f(n) \geq a(n)$

U té druhé otázky, zjevně existují libovolně (ale konkrétně) vysoké složené exponenciální funkce. Např. 2^(2^(2^...^x)) kde těch závorek bude třeba 100. A pro každou předem danou výšku téhle "věžičky" bude ta funkce analytická. Má domněnka ale je, že pokud samotná výška té věžičky bude určena jejím argumentem, pak analytická funkce, která by takovou posloupnost majorizovala, nebude existovat.

Brano · 28. 11. 2015 02:38 — Editoval Brano (28. 11. 2015 17:22)

ked ti ide o rychlost rastu, tak zrejme mozme predpokladat, ze $a_n\ge n$ .

skus dokazat, ze
$\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2\pi z)a_ne^{a_n(z-n)}}{2\pi(z-n)}$
1) konverguje rovnomerne na lubovolnom kompaktnom disku - a teda ze definuje holomorfnu funkciu $f$
2) $f(n)=a_n$

uplne isty si tym nie som, nemam akurat kapacitu na to aby som to poriadne preveril - rozumy som tahal odtialto.

edit: zmeneny predpoklad

Brano · 28. 11. 2015 17:17 — Editoval Brano (28. 11. 2015 17:39)

ten dokaz by mohol ist takto:

1) na disku $|z|<R$ platia pre vsetky $n>R+1$ nasledovne odhady
$e^{z-n}<e^{-1}$ , $\frac{1}{|z-n|}<1$ , $|\sin(2\pi z)|<e^{2\pi R}$ a teda
$\left|\frac{\sin(2\pi z)a_ne^{a_n(z-n)}}{2\pi(z-n)}\right|<e^{2\pi R}a_ne^{-a_n}<\frac{6e^{2\pi R}}{a_n^2}\le \frac{6e^{2\pi R}}{n^2}$
a teda z Weierstrasovho M-testu tam ten rad konverguje rovnomerne.

2) pre cele $k\not=n$ mame $\frac{\sin(2\pi k)a_ne^{a_n(k-n)}}{2\pi(k-n)}=0$
pre $k=n$ by sme delili nulou, tak tam sa to mysli ako spojite rozsirenie toho vyrazu a potrebujeme vlastne limitu
$\lim_{z\to n}\frac{\sin(2\pi z)}{z-n}=2\pi\cos(2\pi n)=2\pi$ (pouzili sme napr l'Hopitala, resp. Taylorov rozvoj okolo n) a teda
$\lim_{z\to n}\frac{\sin(2\pi z)a_ne^{a_n(z-n)}}{2\pi(z-n)}=\frac{2\pi}{2\pi}a_ne^{0}=a_n$

Pozn. robil som to pre komplexne funkcie, ale na realne to mozes lahko zuzit, problem je ak by si naozaj chcel vyzadovat to aby bola $f$ rastuca, lebo tato asi ani nie je.

Eratosthenes · 18. 12. 2015 11:37

↑ Mephisto:

>> je-li dána nějaká rychlost růstu (například posloupností přirozených čísel), pak se ptám, zda vždy existuje
analytická funkce, která roste ALESPOŇ takto rychle

Samozřejmě, je to dokonce polynom. A ten může růst libovolně rychle - ve smyslu "zvol si posloupnost, jakou chceš, vždycky najdu polynomickou funkci, která roste rychleji.

Bati · 18. 12. 2015 11:43

↑ Eratosthenes:
A co zvolíš třeba pro posl. $\{\exp{n}\}$ ?

Eratosthenes · 18. 12. 2015 15:11

↑ Bati:

$1.1\cdot\sum \frac {x^m} {m!}$

check_drummer · 18. 12. 2015 16:55

↑ Eratosthenes:
Ahoj, to ovšem není poynom, ale řada. Polynom musí mít konečně mnoho členů.

Eratosthenes · 18. 12. 2015 19:25

ahoj ↑ check_drummer:,

dobrá, připouštím. Ale původní otázka zněla na analytickou funkci. A analytická funkce to je.

Brano · 20. 12. 2015 19:48

↑ Eratosthenes:
tak sa to da posunut dalej :) aky rad teda zvolis pre $\{a_n\}$ ?

Eratosthenes

↑ Brano:

$a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cdot \Pi_{i=0}^{n-1} (x-i)$

Pavel · 21. 12. 2015 23:28

↑ Eratosthenes:

Bude ta řada pro obecnou posloupnost $\{a_n\}$ vůbec konvergovat?

Xellos · 22. 12. 2015 00:26

↑ Pavel:
Pre konstantnu $a_n$ je to geometricka rada, takze nie.

Eratosthenes

↑ Pavel:

a $\{a_n\}$ konverguje, anebo ne?

Upřesním:

$f(x)= a_0+\sum_{k=1}^{n} a_k\cdot \Pi_{i=0}^{k-1} (x-i)$

Pak je $f(a_n)= a_n$ , ať je $\{a_n\}$ , jaká chce.

Popř.

$f(x)= 3+a_0+\sum_{k=1}^{n} a_k\cdot \Pi_{i=0}^{k-1} (x-i)$

Pak je $f(a_n)= 3+a_n$ , ať je $\{a_n\}$ , jaká chce.

a o to přece šlo. Anebo ne?

Pavel · 22. 12. 2015 13:42

↑ Eratosthenes:

Není mi to jasné. Je-li

$f(a_n)= a_0+\sum_{k=1}^{n} a_k\cdot \prod_{i=0}^{k-1} (x-i)$

jaký význam tam má x, popř. jak je pak definováno $f(x)$ ?

Eratosthenes

↑ Pavel:

opravil jsem. Ale stejně jsem to asi zbytečně zkomplikoval. Úplně stačí třeba

$x\in <n;n+1) \Rightarrow f(x) =1.1\cdot a_n+1.1\cdot (a_{n+1}-a_n)(x-n)$

Pak je vždy $f (a_n)=1.1\cdot a_n$ , takže f(x) roste určitě rychleji než $\{ a_n\}$

Pavel · 22. 12. 2015 16:12

↑ Eratosthenes:

Vždyť nevíš, zda $a_n$ leží v intervalu $\langle n,n+1)$ , nebo ne. Z toho předpisu plyne pouze

$f (n)=1{,}1\cdot a_n$ .

O hodnotě $f(a_n)$ nelze říct nic.

Není sporu o tom, že ke každé posloupnosti lze sestrojit reálnou funkci, která by rostla rychleji než tato posloupnost. Problém je jinde, a to, zda taková funkce bude analytická, tj. zda ji lze vyjádřit nekonečnou mocninnou řadou.

Brano · 22. 12. 2015 16:39 — Editoval Brano (22. 12. 2015 16:42)

↑ Eratosthenes:
ved sme sa uz snad dohodli, ze $a_n$ je v prvom rade nekonecna postupnost; tvoje $f$ riesi iba konecne vela z nich a predpokladama, ze si uvedomujes, ze nie kazda postupnost polynomov musi konvergovat a aj ked konverguje, tak to ani zdaleka nemusi byt analyticka funkcia

no a k tvojej otazke: $a_n$ je lubovolne - t.j. moze konvergovat, ale to zrejme OP vobec nezaujima - otazka smerovala k rychlo rastucim postupnostiam.

no a toto: ↑ Eratosthenes: je uz asi fakt mimo misu; preco by to mala byt analyticka funkcia? ved vacsinou nebude ani len diferencovatelna

Xellos · 22. 12. 2015 20:00

Mam napad: hladat riesenie v tvare $\sum a_n e^{-(x-n)^2 \alpha_n}$ . Hodnoty $\alpha_n$ by sa mali dat nastavit na nieco vhodne zavisle na $a_n,n$ tak, aby gaussovky s rastom $n$ padali dost prudko a prebili tie $a_n$ tak, aby to zaistilo konvergenciu. Potom je zjavne v bode $x=n$ hodnota funkcie $\ge a_n$ .

Tento pristup kazdopadne vyuziva fakt, ze to su body $(n,a_n)$ a nie $(x_n,y_n)$ . Mozno by sa to dalo dalej zovseobecnit...