Matematické Fórum

wariorpolni · 09. 12. 2015 10:07

Ahoj,potřeboval bych poradit. Probíráme tělesa Válec,Jehlan a Kužel. Problém je,že děláme pomocí tabulek a vlastně všechny vzorce říká učitel že si máme hledat v tabulkách. Chtěl bych ale poradit,nevím, jestli je tam jen nemůžu najít,nebo tam tyto vzorce nejsou a měl bych si je nějak odvodit, ale u každého z těchto těles tam je pouze vzorec na povrch S a objem V. V příkladech ale počítáme i výšky,poloměry, obsahy pláště a podstav a vlastně pořád tam objevuju nové vzorce a nevím jak na ně přijít,jestli se to nějak odvozuje nebo co , dám příklad :

Obvod podstavy rotačního válce je tak velký,jako jeho výška. Jaký je jeho průměr, jestli je jeho objem 1 litr.

Tak je mi jasné,dosadím vzorec pro ten objem $1=\Pi r^{2}\cdot v$
Ovšem nevěděl jsem kolik je výška a tu mám v sešitě napsanou jako $v=2\Pi r$ , jenže v tabulkách to asi není a jak na to jako přišli že výška je u válce $2\Pi r$ ? Nebo jiný případ, u rotačního kužele mám zase že $Spl=\Pi rs$ ,což taky v tabulkách u toho tělesa není.Můžete mi prosím říct,jak se to dá odvodit,popř. kde to najít v tabulkách nebo aspon na internetu abych si to mohl vypsat ? Díky

OndrasV · 09. 12. 2015 10:20

↑ wariorpolni: To máte v sešitě chybu. 2piR je obvod kruhu. U válce Spl=2piRv

Rumburak

↑ wariorpolni:

Ahoj.

Vzorce pro obsahy obrazců a objemy těles se matematicky odvodit principiálně dají, k tomu ovšem potřebujeme
nejprve mít definováno, co pojmy "obsah obrazce" případně "objem tělesa" přesně znamenají. Tyto otázky
důsledně řeší teorie míry spolu s integrálním počtem (IP), což je až vysokoškolská látka (jakýsi úvod do IP se ovšem
probírá i v posledním ročníku některých SŠ).

Na SŠ (něco už na ZŠ) se probírají (bez důkazu) vzorce pro obsah obdélníka, kruhu a kruhové výseče. Odtud
můžeme pomocí SŠ matematiky odvodit vzorce pro obsahy obrazců, které jsou z těch předešlých odvozeny
jejich vhodným "skládáním" nebo "ubíráním". Například když z papíru vystřižený obdélník dále šikovně rozstřihneme
na tři části, můžeme z nich pak sestavit trojúhelník stejného obsahu, jaký měl původní obdélník.

Odobná je situace u objemů těles. Bez důkazu se na SŠ (ZŠ) uvádějí vzorce pro objem kvádru, koule, válce,
kulové úseče, kužele, jehlanu, z posledních třech vzorců se dají odvodit vzorce pro objem kulové vrstvy, komolého
kužele resp. komolého jehlanu.

Cheop · 09. 12. 2015 14:24 — Editoval Cheop (09. 12. 2015 14:26)

↑ wariorpolni:
Objem válce
$V=\pi\,r^2v$
Dle zadání výška válce v je stejná jako obvod podstavy válce tedy:
$2\pi\,r=v$
Objem válce je:
$V=\pi\,r^2\cdot 2\pi\,r=2\pi^2\,r^3\\r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi^2}}$
Za objem V dosadit 1 l = 1000 cm^3 a poloměr válce vyjde v centimetrech, průměr je 2r

misaH · 09. 12. 2015 15:37 — Editoval misaH (09. 12. 2015 15:41)

↑ wariorpolni:

A čo je v tých tabuľkách ako obsah plášťa kužeľa?

Výška valca nie je vždy $2\pi\cdot r$ .

Len v tomto špeciálnom prípade je uvedené v zadaní, že je rovná obvodu podstavy.

Výška valca predsa môže byť všelijaká - malá aj veľká. V tvojom prípade je (z vôle autora úlohy) rovná obvodu podstavy.

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2015 10:07

Vzorce Válec,Jehnal , Kužel

#2 09. 12. 2015 10:20

Re: Vzorce Válec,Jehnal , Kužel

#3 09. 12. 2015 13:15 — Editoval Rumburak (11. 12. 2015 13:32)

Re: Vzorce Válec,Jehnal , Kužel

#4 09. 12. 2015 14:24 — Editoval Cheop (09. 12. 2015 14:26)

Re: Vzorce Válec,Jehnal , Kužel

#5 09. 12. 2015 15:37 — Editoval misaH (09. 12. 2015 15:41)

Re: Vzorce Válec,Jehnal , Kužel

Zápatí