Matematické Fórum

Zadání: Nechť V je lineární prostor všech matic typu 2x3 nad tělesem (s běžnými operacemi).
Jaká může být dimenze průniku podprostorů X a Y prostoru V, pokud zároveň platí:

a) X obsahuje čtyřprvkovou lineárně nezávislou posloupnost
b) Y nemá žádnou tříprvkovou množinu generátorů

Poznámka: Je třeba určit všechny možnosti, které mohou nastat, a odpověď dokázat.

Nějaká logika příkladu:

Nejdřív ohledně prostoru V:
Jeho báze bude vypadat tak, že se bude jednat o 6 matic typu 2x3, kde každá matice bude mít např. 1 na jednom místě a ostatních nuly tak, aby žádné dvě matice nebyli lineárně závislé. Taková posloupnost skutečně bazí prostoru V je, neboť pomocí ní jsme schopni získat jakoukoliv matici z V. Když máme bázi, máme dimenzi V a to dimV=6.

Teď prostor X:
Protože obsahuje 4-prvkovou lineárně nezávislou posloupnost, nemůže obsahovat ani 3-prvkovou(nebo dokonce s ještě nižším počtem prvků), ani 5-prvkovou(nebo dokonce s ještě vyšším počtem prvků) lineárně nezávislou posloupnost. Pro 3-prvkovou LN posloupnost, by muselo platit, že naše 4-prvková ze zadání by nebyla LN, neb jeden z jejích prvků by byl lineární kombinací prvků z 3-prvkové, což je však spor se zadáním. Podobně pro 5-prvkovou LN posloupnost, by musí platit, že jeden z jejích prvků je lineární kombinace prvků z 4-prvkové posloupnosti, což znamená, že není LN.
Proto má prostor X bázi právě 4, kde možných bazí je kombinace 4 prvků ze 6 (nezáleží na pořadí - báze (a,b) je stejná jako báze (b,a) nad nějakým tělesem), a to je 15.

Ze zadání ještě zbývá prostor Y:
Nemá ŽÁDNOU tříprvkovou množinu generátorů. To znamená:
1) Nemá množiny generátorů s 0, 1, 2 ani 3 prvky. Protože 3-prvkové množiny nám zakazuje zadání, nesmí zde být ani nižší, neboť např.: množina generátorů {(a,b)} množina generátorů {(a,b),(5a,5b)}; nebo už né tak očividný příklad {(a,0,c), (0,b,c), (a,b,c)} {(a,0,0), (0,b,0), (0,0,c), (a,5b,3c)}.
Množina generátorů "může" obsahovat LZ prvky.
2) Minimální množina generátorů obsahuje 4 LN prvky (plyne z 1) bodu).
3) Maximální množina generátorů s lineárně nezávislými prvky obsahuje 6 prvků (plyne z faktu, že se jedná o podprostor prostoru V).

(Pozn.: Množin generátorů obsahujících 4 LN prvky bude opět 15, obsahujících 5 LN prvků bude 6, obsahujících 6 LN prvků bude právě 1.)

To tedy znamená, že dimenze průniku podprostorů X, Y prostoru V je menší rovna 6 a vyšší rovna 4.

To jak bude vypadat ovlivní právě průnik prostorů X a Y. Bude 2 pro průnik, kde Y má pouze dva stejné prvky s X (čili Y bude obsahovat množinu generátorů obsahující 4 LN prvky a jen dva z nich náleží jak do Y, tak do X); 3 pro průnik, kde Y má právě tři stejné prvky s X (čili Y bude obsahovat množinu generátorů obsahující 4 nebo 5 LN prvků a právě tři z nich náleží jak do Y, tak do X); a 4 pro průnik, kde Y má právě čtyři stejné prvky s X (čili Y bude obsahovat množinu generátorů obsahující 4,5 nebo 6 LN prvků a právě čtyři z nich náleží jak do Y, tak do X).

Tak jo, někde nějaké chyby v argumentech? Připomínky? Poznámky? Chybějící odůvodnění?
Jestli ne, tak mi prosím alespoň poraďte, zdali tohle stačí jako struktura důkazu, nebo to potřebuje formálnější zápis.

Díky a promiňte za dlouhý post :)

PS: Jak je tam sakra relevantní to těleso??:O