Matematické Fórum

↑ Hansikii:

Ahoj.

Použitá metoda je částečně správná.

Pokud je uvedená soustava rovnic řešitelná, znamená to, že vektor   je prvkem prostoru ,
který je lineármém obalem vektorů  .

Není-li však řešitelná jednoznačně, pak daná soustava vektorů  není bází prortoru
a tedy nemá smysl hovořit o souřadnich vektoru vzhledem k této soustavě.

K efektivnějšímu postupu povede, když soustavu vektorů nejprve zredukujeme na bázi prostoru
(vynecháním přebytečných vektorů). Odpovídající soustava rovnic pak bude řešitelná jednoznačně
a nalezené hodnoty neznámých budou hledanými souřadnicemi.

↑ Hansikii:

Někdy je na první pohled zřejmé, který vektor možno vyškrtnout - když je násobkem jiného vektoru.
Taková situace zde ovšem není, rovněž předem nevíme, kolik těch lin. nezávislých vektorů bude.
Proto musíme postupovat poněkud složitěji.

Vektory budeme vnímat jako řádkové vektory a sestavíme z nich  "pracovní" seznam (tj. jejich množinu
nějak uspořádáme, třeba hodnotou indexu , avšak není to podstatné). 
Dále sestavíme "pracovní" matici , v níž -tý řádek bude odpovídat -tému vektoru z pracovního
seznamu vektorů.

Na  pracovní matici (přesněji: na její řádky) aplikujeme Gaussovu eliminační metodu. Pokud při tom změníme
pořadí řádků, musíme odpovídajícím způsobem změnit (zaktualisovat) také pořadí vektorů v pracovním seznamu.
Jestliže se tímto postupem vynuluje -tý řádek pracovní matice, pak tento řádek z pracovní matice vyškrtneme
a totéž učiníme s -tým vektorem v aktuálním pracovním seznamu vektorů.

Tímto algoritmem dojdeme do situace, kdy pracovní matice bude mít diagonální tvar (pod hlavní diagonálou
pouze nuly).  Pracovní seznam vektorů aktuální tomuto stavu bude již lineárně nezávislý a tedy půjde o bázi
podprostoru .

↑ Hansikii:

Můj příspěvek ↑ Rumburak: jsi bohužel nepochopil správně.
"Mojí" pracovní maticí je (pokud jsem se neupsal)

2,  3, -1,  2, -2
-1,  2,  4, -1,  3
5, -6,  2,  3, -1
3,  3,  6,  2,  2  .