Matematické Fórum

Katsushiro

Ahoj všichni!

Narazil jsem na příklad, kdy mám převést parciální diferenciální rovnici do tvaru "typického" pro Laplaceovu rovnici. Zadání vypadá takto:

$u_{xx} - 6 u_{xy} + 12 u_{yy} = 0\\ \xi = x \\ \eta = \alpha x+ \beta y$

$\alpha$ a $\beta$ jsou tvary substitucí, které se mají použít při transformaci rovnice.

Můj postup:

1) Ověřím, jestli je rovnice eliptická pomocí diskriminantu kvadratické formy:
$D = b^2 - 4ac = 36 - 48 = -12 < 0$

Diskriminant je menší než 0 a tak je rovnice eliptická.

2) Teď si zadefinuji substituci:
$u(x,y) = (\xi(x,y), \eta(x,y))\\ u_{\xi}(x,y) = (\xi(x,y), \eta(x,y))\\ u_{\eta}(x,y) = (\xi(x,y), \eta(x,y))$

Předpokládám, že i derivace funkce $u$ jsou pořád funkcemi týchž proměnných, tedy $\xi$ a $\eta$ .

3) Počítám derivace pro dosazení do zadané rovnice:
$\xi_x = 1\\ \xi_y = 0\\ \eta_x = \alpha \\ \eta_y = \beta$
$u_x = u_\xi\xi_x + u_\eta\eta_x = u_\xi + \alpha u_\eta\\ u_y = u_\xi\xi_y + u_\eta\eta_y = \beta u_\eta$
$u_{xx} = u_{\xi\xi}+ 2\alpha u_{\xi\eta} + \alpha^2 u_{\eta\eta}\\ u_{xy} = \beta u_{\xi\eta} + \beta u_{\eta\eta} \\ u_{yy} = \beta^2 u_{\eta\eta}$

Pokud ale tyto derivace dosadím do rovnice, určitě mi nevyjde nic podobného tvaru:
$u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} = 0$

Mohli byste mi, prosím poradit, kde dělám chybu?

Edit:
Napadlo mě, že mám nesjpíš odvodit ty $\alpha$ a $\beta$ koeficienty...

Moc děkuji za rady,
Katsu

Brano · 17. 01. 2016 00:58

preco - ved uloha je nastavit $\alpha, \beta$ tak aby to sedelo
mas
$u_{xx} - 6 u_{xy} + 12 u_{yy} = u_{\xi\xi}+ 2\alpha u_{\xi\eta} + \alpha^2 u_{\eta\eta} - 6 ( \beta u_{\xi\eta} + \beta u_{\eta\eta}) +12(\beta^2 u_{\eta\eta}) =$
$=u_{\xi\xi}+u_{\xi\eta}(2\alpha-6\beta)+u_{\eta\eta}(\alpha^2-6\beta+12\beta^2)$
a teda chces
$2\alpha-6\beta=0$ a $\alpha^2-6\beta+12\beta^2=1$
take najdes a mas

Sergejevicz

Já bych tedy upravil značení. Jednak ti v
$u(x,y) = (\xi(x,y), \eta(x,y))\\ u_{\xi}(x,y) = (\xi(x,y), \eta(x,y))\\ u_{\eta}(x,y) = (\xi(x,y), \eta(x,y))$
chybí $u$ resp. $u_\xi$ resp. $u_\eta$ před vnějšími závorkami na pravé straně, ale hlavně se mi nezdá toto:

Píšeš "Předpokládám, že i derivace funkce $u$ jsou pořád funkcemi týchž proměnných, tedy $\xi$ a $\eta$ .", ale přitom ve zmíněném je vše funkcemi x a y. Takže bys měl psát "...týchž proměnných, tedy x a y.", ne? :-).

Dosazením právě něco podobného Laplaceovu operátoru vznikne, protože původní rce je lin. komb. druhých parc. derivací podle x a y, ty jsou, jak bylo spočteno, lin. komb. druhých parc. derivací podel xí a éta, takže po dosazení určitě dostaneme nějakou lin. komb. druhých parc. derivací podel xí a éta, přičemž se tam v koeficientech lin. komb. objeví parametry alfa a beta, které - a to je právě správná poznámka v tvém editu - se dají stanovit tak, aby se vyrušily smíšené druhé parc. derivace podle xí a éta. Takže to vede na nějakou rovnici a*alfa + b*beta = 0, kde a, b jsou nějaká čísla.

Sergejevicz · 17. 01. 2016 01:32

Ano, a jak ještě správně píše kolega ↑ Brano:, tak ještě na jednu další rovnici pro alfa, beta, aby bylo u_étaéta v rovnici právě jednou.

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2016 00:42 — Editoval Katsushiro (17. 01. 2016 00:57)

Transformace PDR na Laplaceovu rovnici

#2 17. 01. 2016 00:58

Re: Transformace PDR na Laplaceovu rovnici

#3 17. 01. 2016 01:28 — Editoval Sergejevicz (17. 01. 2016 01:30)

Re: Transformace PDR na Laplaceovu rovnici

#4 17. 01. 2016 01:32

Re: Transformace PDR na Laplaceovu rovnici

Zápatí