Matematické Fórum

.blek · 19. 01. 2016 13:17 — Editoval .blek (19. 01. 2016 13:21)

Ahoj
potřeboval bych pomoci s přepisem zadání dif. rovnice do tvaru s "p" - konkrétně se mi jedná o ten prvek obsahující "t-u" v mocnině. Bez toho "u" by to bylo normálně 1/(p-1), ale takhle nevím, kam to "u" mám dát. Jak se k tomu jmenuje příslušná věta (návod jak to řešit-myslím ten problém s "u")?

Dík.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/05568_laplace-u.png

Sergejevicz · 19. 01. 2016 14:54

Zdar :-)! Já nerozumím tomu, co by mělo být "p". Taky se mi nezdá, čím by podle tebe mělo být nahrazeno "u", aby už to bylo jasnější. Podle mě je podivné ani ne "u", ale to "t" v exponentu, protože takhle se vyskytuje "t" v argumentu i v integračním oboru. To je buď podivné značení, řekl bych nepořádné, používané někdy ve fyzice, anebo bych to viděl na zapeklitější problém podobný třeba problému okolo věty o transportu, kterou se řeší v odvození rovnic pro proudění závislost integrační oblasti na čase, na kterém ale právě závisí i integrand. Skoro mě napadlo v tomto případě tu větu nějak využít :-).

Xellos · 19. 01. 2016 18:03 — Editoval Xellos (19. 01. 2016 18:05)

$p$ je typicky premenna transformovanej funkcie: $Lx=L[x(t)](p)=X(p)$ . Ulohou je teda asi spravit LT oboch stran rovnice.

$u$ je len integracna premenna integralu $\int_0^t x(u)e^{t-u}\d u$ (pri zvolenom $t$ ). Laplaceova transformacia je potom integral voci $t$ , takze z tohto vyjde dvojity integral.

Predpokladam ze ciarkova derivacia je voci $t$ . LT pravej strany uvadzat fakt nemusim, LT lavej je

$L[x'+2x]+2\int_0^\infty \left(\int_0^t x(u)e^{t-u}\mathrm{d}u\right)e^{-pt}\mathrm{d}t = L[x'+2x]+2\int_0^\infty x(u)e^{-u}\left(\int_u^\infty e^{t(1-p)}\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}u$

co sa uz da dopocitat (k tomu treba: pre ake $p$ ? do akeho priestoru musi patrit funkcia $x$ ?).

.blek · 19. 01. 2016 18:57

↑ Xellos: Ahoj, ty tomu zase rozumíš nějak moc, to se mi taky nehodí :-) Já jsem ve škole asi zaspal, když se to probíralo. Jinak skutečně jde o tu Laplaceovu transformaci, jenže musí to jít i jinak, než s dvojným integrálem. Já "umím" jenom transformace podle vzorců, takže bych pochopil jen postup, kde by se třeba z "t" stalo "1/p^2", z "1" by byla "1/p" a tak. :-)

Jj · 19. 01. 2016 19:38 — Editoval Jj (19. 01. 2016 19:40)

↑ .blek:

Dobrý den. V tom případě se do převodní tabulky LT podívejte, jak se tranformuje konvoluce funkcí,

protože $\int_0^t e^{t-u} x(u)\, \d u$ znamená konvoluci funkcí $e^t\text{ a } x(t)$ .

Sergejevicz

Mně tam pořád nějak vadí t v horní mezi a zároveň v argumentu integrandu.

EDIT: Ne, dobře. Vlastně to nevadí obecně integraci, podle t se neintegruje. Ale úplně přesně konvoluce se mi to být nezdá, viz další příspěvek.

Sergejevicz · 19. 01. 2016 22:18

Konvoluce by to byla, kdyby horní mez byla nějaký parametr nezávislý na t a u, ne? My jsme se ji tedy učili s mezemi +-inf, tady se nejspíš omezujeme na nezáporná čísla, představoval bych si tedy v horní mezi +inf.

.blek · 19. 01. 2016 22:54

↑ Jj: Děkuji, to je ono - nakonec jsem tam v učebnici došel taky - to přitom dělám děsně nerad, protože pak často zjistím, kolik je tam dalších vět, o kterých nic nevím :-) Díky.

Jj · 20. 01. 2016 10:05

↑ Sergejevicz:

Určitě máte pravdu, ale tento termín se u L. transformací užívá i ve smyslu, který jsem uvedl.

Xellos · 20. 01. 2016 15:00

↑ Sergejevicz:

Pri LT sa zvykne hovorit ze pre zaporne argumenty su funkcie nulove. Vtedy je integrovanie po nekonecno funguje rovnako ako v tejto definicii. Je to "konvolucia v priestore $L^1_+$ ".

(Teraz sa ucim na analyzu 5, tam je LT okrem ineho.)

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2016 13:17 — Editoval .blek (19. 01. 2016 13:21)

Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

#2 19. 01. 2016 14:54

Re: Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

#3 19. 01. 2016 18:03 — Editoval Xellos (19. 01. 2016 18:05)

Re: Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

#4 19. 01. 2016 18:57

Re: Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

#5 19. 01. 2016 19:38 — Editoval Jj (19. 01. 2016 19:40)

Re: Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

#6 19. 01. 2016 21:59 — Editoval Sergejevicz (19. 01. 2016 22:29)

Re: Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

#7 19. 01. 2016 22:18

Re: Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

#8 19. 01. 2016 22:54

Re: Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

#9 20. 01. 2016 10:05

Re: Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

#10 20. 01. 2016 15:00

Re: Laplaceova transormace, řešení dif. rovnice s "u" - přepis zadání

Zápatí