Matematické Fórum

janca361 · 19. 01. 2016 19:47

Ahoj,
potřebuju spočítat následující:

Oblast mi tedy nepřijde zadaná jednoznačně, nicméně asi se má počítat červeá část (nebo ne?)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/28420_Screenshot_99.png

Počítala jsem tak, že jsem spočítala obsah dané výseče elipsy a od toho odečetla patřičnou výseč kruhu.

Integrály jsem sestavila následující:
Pro elipsu:
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{3}r \ dr d \varphi = \frac{3\sqrt{3} \pi}{8}$

Pro kružnici:
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1}r \ dr d \varphi = \frac{\pi}{8}$

Červené oblast mi vyšla:
$\frac{3\sqrt{3}-1}{8} \pi$

Výsledky integrálů mi podle WA sedí, kde je chyba? Mám ty integrály špatně sestavené nebo počítám na špatné oblasti?

Předem díky.

byk7 · 19. 01. 2016 20:45 — Editoval byk7 (19. 01. 2016 20:48)

Řekl bych, že oblast, jejíž obsah počítáš je navíc ohraničen osou $y$ . Počítal bych spíš tu oblast "z druhé strany přímky $y=x$ ", tj.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/32867_1.png

jelena · 19. 01. 2016 21:03

Zdravím,

mně se ještě nezdá převod rovnice elipsy a mezí pro elipsu do polárních souřadnic, jak jsi převáděla ↑ janca361:? OT: toto se podařilo? Děkuji.

janca361 · 20. 01. 2016 12:28

↑ byk7:
No to byla druhá možnost. Dle mého však splňují zadání obě tyto oblasti.

↑ jelena:
No mezemi u elipsy si taky nějak nejsem jistá.

Jakobián počítám jako $a \cdot b \cdot r$ , $a=1$ , $b=\sqrt{3}$

Jinak dítě stále nebylo nalezeno, byly důležitější věci než se jeho hledání, ale najít ho budu muset ;)

jelena · 20. 01. 2016 13:41

↑ janca361:

u transformace elipsy (pokud odvodíš ručně) dojdeš k výsledku, který se uvádí např. zde (od "in terms of polar coordinates..."), po úpravě na tvar $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , potom Jakobian máš dobře, ale mez pro r je $0 \le r \le 1$ , úhel - souhlasím. Zkus buď ručně odvodit, nebo ještě projít např. příklad 1.2.7.

OT: to už bude Mauglí :-)

Sergejevicz

↑ jelena:
↑ janca361:
Právě že pro elipsu chodí r od 0 do něčeho, co závisí na fí. Že to tak musí být, je vidět už z obrázku - pro každé fí (= natočení průvodiče) je bod na elipse jinak daleko od počátku (= pólu). Uvážil bych rovnici elipsy a vyjádřil bych z ní r. Horní mez pak bude $\sqrt{\frac{3}{3\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)}}$ .

EDIT: Omluva, asi tam mám chybu. Níže opravím.

EDIT 2: Omluva 2. V tomto příspěvku se vyjadřuji k případu jiné transformace, viz níže http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 00#p503000 .

janca361 · 20. 01. 2016 14:12

↑ jelena:
Pro elipsu to bude tedy
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \sqrt{3}r \ dr d \varphi = \frac{\sqrt{3} \pi}{8}$

Nicméně pořád to nedává uváděný výsedek.

Pokud budu uvažovat oblast, co uvedl ↑ byk7: to bude stejně (elipsa klame? Mi to teda přijde menší).

janca361 · 20. 01. 2016 14:15

↑ Sergejevicz:
Hm, jen jak ses k $\sqrt{\frac{3}{3\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)}}$ dostal?

jelena · 20. 01. 2016 14:45

↑ Sergejevicz:

děkuji, vím. $r=\sqrt{\frac{3}{3\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)}}$ je odvození z původního zápisu elipsy. Pokud upravím na $\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{3}=1$ , potom při použití (např. viz odkaz poslední str.) dojdu k tomu, co jsem napsala. Souhlasíš?

↑ janca361: on ten výsledek je nějaký zvláštní - proč by psali *4pi, když to jde vykrátit s jmenovatelem. Konec konců cca hodnotu výsledku můžeme odhadnout.

Sergejevicz

↑ janca361:
Nebude. Zrovna jsem psal, jak vypadá horní mez integrálu.

↑ janca361:
Tak oprava je v podstatě v tom, zmíním dosazení přechodu od polárních souřadnic ke kartézským.

Jak jsem psal :-). "Uvážil bych rovnici elipsy a vyjádřil bych z ní r". Dobře - tak ne "uvážil bych", ale "uvažuju" :-).
Zapomněl jsem tam napsat, že se do rovnice elipsy dosadí přechod od polárních souřadnic ke kartézským.

(*)
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Transformace z polárních souřadnic do kartézských je

(**)
$x = r\cos(\varphi)$ ,
$y = r\sin(\varphi)$ .

Dosadíme z (**) do (*), vyjádříme r a máme

$r = \sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2\cos^2(\varphi) + a^2\sin^2(\varphi)}}$ ,

což po dosazení za $a, b$ ze zadání dává tu mez. :-)

Když jde o kružnici, je speciálen a = b = poloměr kružnice, a "r" by tak chodilo do (značme to) "a", což ze zadání je v případě kružnice 1.

EDIT: Omlouvám se, přehlédl jsem se, a tak se vlastně vyjadřuji k případu jiné transformace, viz níže http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 00#p503000 .

Sergejevicz · 20. 01. 2016 14:59

↑ jelena:
Moje myšlenka je spíš obráceně - mám útvar v kartézských souřadnicích, mám transformaci z jiných souřadnic do kartézských, tak dosadím, abych měl vše ve výrazech s těmi jinými souřadnicemi, a když mám štěstí, jako u elipsy nebo kružnice, dá se jedna ta nová souřadnice vyjádřit pomocí druhé.

janca361

↑ jelena:
On vyučující a autor řešení je taky trochu zvláštní, takže řešení vůbec nemusí být správně.

Mi třeba přijde zvlášní, že obsah je pro obě části stejný :)

↑ Sergejevicz:
Když to zkusím tvám způsobem, tak se dostanu k $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{3\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)}}} \sqrt{3}r \ dr d \varphi = \frac{3\sqrt{3}}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3\cos ^{2} \varphi+\sin^{2} \varphi} d \varphi$

Zkoušela jsem úpravu
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2\cos ^{2} \varphi+1} d \varphi$ , ale ani to mi nějak nepomohlo k tomu, jak daný integrál spočítat.
Trošku mi to sice připomíná vzorec $\int_{}^{} \frac{1}{a^{2}+x^{2}} dx$ , ale pokus o substituci nikam nevede...

Sergejevicz · 20. 01. 2016 15:30

↑ janca361:
Chybí ti druhá mocnina u sin ve jmenovateli

To je standardní typ integrálu, viz
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 68#p502768

Jj · 20. 01. 2016 16:36 — Editoval Jj (20. 01. 2016 16:37)

↑ janca361:

Zdravím.

Řekl bych, že v polárních souřadnicích by měla jít uvedená ohraničená plocha spočítat takto:

$S=\frac{1}{2}\int_{\pi/4}^{\pi/2} (r_{el}^2-r_{kr}^2)\,d\varphi=\frac{3}{2}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\frac{1}{3\cos^2\varphi + \sin^2\varphi}-1\right)\,d\varphi=$

$=\frac{3}{2}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\frac{1}{\cos^2\varphi(3 + \text{tan}^2\,\varphi)}-1\right)\,d\varphi$

což by se mělo dát spočítat substitucí $\text{tan }\varphi = x$ ,

případně "druhá" označená plocha po změně mezí integrálu.

Sergejevicz · 20. 01. 2016 16:40

↑ Jj:
Vždyť to jsme řešili tak, ale odděleně - zvlášť vnitřek elipsy a kruh a pak od sebe odečíst. :-)

Jj · 20. 01. 2016 16:42 — Editoval Jj (20. 01. 2016 16:44)

↑ Sergejevicz:

Tak pardon, těch příspěvku je už tolik, že jsem to ani moc neprohlížel, jen jsem neviděl nějaký konec :)

jelena · 20. 01. 2016 23:26

Zdravím v tématu,

já se ještě vrátím k postupu, který použila Janča:

Janča napsal(a):
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \sqrt{3}r \ dr d \varphi = \frac{\sqrt{3} \pi}{8}$

já jsem napsal(a):
potom Jakobian máš dobře, ale mez pro r je $0 \le r \le 1$ , úhel - souhlasím.

úhel nemám dobře, ještě musím použit přímku $y=x$ a tedy $\sqrt 3\sin \varphi=\cos \varphi$ , odsud $\varphi=\frac{\pi}{6}$ . Pro červenou část počítám $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \sqrt{3}r \ dr d \varphi$ , pro zelenou část počítám $\int_0^{\frac{\pi}{6}}\int_{0}^{1} \sqrt{3}r \ dr d \varphi$ (v této variantě, mám dojem výsledek bude souhlasit s nabízeným).

Akorát nejsem si jistá - nepracuji já teď s parametrickým vyjádřením (ne s polárním)? + skoro se to jeví, že bez použití dvojného integrálu (ale jen určitého) bychom se výsledků dostali spíš :-)

Sergejevicz

↑ janca361:
Tobě a ostatním se omlouvám. Napsal jsem totiž, viz http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 48#p502848 , že u elipsy chodí r do něčeho jiného než 1. A to je problém, protože postup Jancy361 používá transformaci šitou na míru elipse, totiž
$x = ar\cos(\varphi)$ ,
$y = br\sin(\varphi)$ .
Tím se do Jacobiánu dostává ta $\sqrt{3}$ .
V takovém případě je horní mez pro r rovná 1, jak má i Jelena. Zjistí se to tak, jako jsem to dělal já, i když v jiném případě; dosadí se ty polárně-eliptické transformace do rovnice elipsy a vyjádří se r - v případě takovéto transformace je to skoro zadarmo. Je pak ale nutné správě určit úhel, jak se Jelena opravila tady:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 95#p502995

Na druhé straně, já jsem uvažoval pro elipsu a její vnitřek transformace z obyčejných kruhových polárních souřadnic
$x = r\cos(\varphi)$ ,
$y = r\sin(\varphi)$ .
Tím mám Jacobián pouze obvyklé r. I dolní mez úhlu mi zůstane zřejmá z obrázku, právě díky kruhovosti transformace.
Ale horní mez r je složitější, jak jsem ukazoval tady:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 66#p502866

Moje chyba spočívá v tom, že jsem nechal Jančin jakobián, ale k tomu dal svoji horní mez pro r.

Takže se ještě jednou omlouvám, chybu dám do příslušných editů, kterými se odkážu sem.

Až bude někdy čas, propočítám oba způsoby, a třeba i ten kartézský, ten viz skryté http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 03#p502903 , musí to přeci vycházet stejně. :-)

janca361 · 21. 01. 2016 11:25

↑ jelena: ↑ Sergejevicz:
Super, díky za vysvětlení.

Výsledek mám $\frac{2\sqrt{3}-3}{24}\pi$ ,m což asi bude to, co bylo myšleno pod $\frac{2\sqrt{3}-3}{2}4\pi$ .

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2016 19:47

Výpočet obsahu pomocí integrálů

#2 19. 01. 2016 20:45 — Editoval byk7 (19. 01. 2016 20:48)

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#3 19. 01. 2016 21:03

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#4 20. 01. 2016 12:28

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#5 20. 01. 2016 13:41

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#6 20. 01. 2016 14:08 — Editoval Sergejevicz (21. 01. 2016 00:42)

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#7 20. 01. 2016 14:12

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#8 20. 01. 2016 14:15

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#9 20. 01. 2016 14:45

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#10 20. 01. 2016 14:49 — Editoval Sergejevicz (21. 01. 2016 00:44)

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#11 20. 01. 2016 14:59

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#12 20. 01. 2016 15:21 — Editoval janca361 (20. 01. 2016 15:32)

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#13 20. 01. 2016 15:30

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#15 20. 01. 2016 16:36 — Editoval Jj (20. 01. 2016 16:37)

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#16 20. 01. 2016 16:40

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#17 20. 01. 2016 16:42 — Editoval Jj (20. 01. 2016 16:44)

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#18 20. 01. 2016 23:26

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

Janča napsal(a):

já jsem napsal(a):

#19 21. 01. 2016 00:35 — Editoval Sergejevicz (21. 01. 2016 00:49)

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

#20 21. 01. 2016 11:25

Re: Výpočet obsahu pomocí integrálů

Zápatí