Matematické Fórum

Ciza · 19. 01. 2016 23:30

Dobrý den,

dnes jsem se doslechl o zajímavých součtech nekonečných řad, kdy např. 1 + 2 + 3... = -1/12 . Tento fakt je ve fyzice prý i experimentálně dokázán a je základem teorie strun. Důkaz např. v tomto videu, více o tomto problému na wikipedii a jinde.

Pokusil jsem se provést obdobný důkaz, jako v předchozím videu, pro řadu 1 + 1 + 1... = -1/2.

1) Zadefinujme tuto řadu jako S.
2) Přičtěme k ní řadu 1 - 1 + 1 - 1... = 1/2 (viz dříve)
3) Dostáváme rovnici S + 1/2 = 2 + 0 + 2 + 0...
4) Z pravé strany vytkneme 2, dostáváme 2 * S
5) S + 1/2 = 2S tedy S = 1/2

Důkaz mi tedy nevyšel (špatné znaménko). Pokud však v druhém kroku důkazu druhou posloupnost odečteme, důkaz pokračuje obdobně (PS = 0 + 2 + 0 + 2...) a dostaneme platnou -1/2.

Proto se ptám, jaktože se mi povedlo dokázat jak 1/2, tak -1/2, přestože pouze -1/2 je platná (viz např. zde). Co je na mém důkazu špatně?

Mockrát děkuji za vysvětlení, daný problém přesahuje mé chápání.

Hanis · 19. 01. 2016 23:45

Ahoj,

ta suma diverguje.

Pro začátek si pročti toto téma:
Grandi a spol.

Bati · 19. 01. 2016 23:58 — Editoval Bati (20. 01. 2016 00:02)

↑ Ciza:
Ahoj,
definice nekonečné řady je $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Na_n$ . Z toho ihned plyne, že $\sum_{n=1}^{\infty}1=+\infty$ a také, že $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ neexistuje. To je taky důvod, proč je tvůj "důkaz" špatně - pracuješ s objekty, které nejsou dobře definované. Taky se to dá říct tak, že komutativita a asociativita sčítání neplatí pro nekonečný počet sčítanců.

Pro funkci gamma platí $\gamma(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}$ pro $s>1$ . Dále platí $\gamma(-1)=-\frac1{12}$ . Z toho ale nijak neplyne, že $\sum_{n=1}^{\infty}n=-\frac1{12}$ .

Edit: Místo gamma jsem měl samozřejmě na mysli zeta :-)

Ciza · 20. 01. 2016 00:01

↑ Hanis:
Ahoj,

přečetl jsem si přiložený odkaz. Souhlasím, že ta řada diverguje. Přesto však nechápu, proč při použitý engelových rovnic pro přiřazení hodnoty divergující řadě mohu obdobným důkazem, jako byl proveden ve videu, dostat dva různé výsledky, z nichž pouze -1/2 je ten správný. Uniká mi něco? Mohl bys mi to prosím detailněji vysvětlit?

Děkuji.

Bati · 20. 01. 2016 00:04

↑ Ciza:
Uniká ti to, že "důkaz" ve videu není důkaz.

Ciza · 20. 01. 2016 00:07 — Editoval Ciza (20. 01. 2016 00:14)

↑ Bati:

Toto tedy také není pravda?

EDIT: Či zeta funkce obecně platí, pouze důkaz ve videu je příliš triviální? Rovněž nechápu proč zeta funkce tvém komentáři neimplikuje součet sumy, který je jejím přepisem.

Bati · 20. 01. 2016 00:12 — Editoval Bati (20. 01. 2016 00:15)

↑ Ciza:
Tam to je právě správně.
Nemůžeš se ale dívat čistě jen na rovnosti. Píše se tam např., že něco platí "in this sense", což tě upozorňuje na to, že to musíš interpretovat v nějakém smyslu, který není standardní.

Pavel · 20. 01. 2016 00:12

↑ Ciza:

I divergentní řady se dají sčítat, ale ne v klasickém smyslu částečných součtů, viz např. zde, kde jsou oba příklady zmíněny.

Bati · 20. 01. 2016 00:16

↑ Ciza:
Protože ten "přepis", jak tomu říkáš funguje jen pro $s>1$ .

byk7 · 20. 01. 2016 00:21

↑ Bati: Jak je zeta funkce definovaná pro $s\le1$ ?

Sergejevicz

Já bych se pozajímal o Cesarovské součty (čtené Čezarovské, pan Čezaro, práno se zpětnou čárkou nad a, pokud si dobře pamatuju).

EDIT: Řekl bych, že tu jde o obecnou nepřerovnavatelnost řad, resp. přerovnatelnost k libovolnému součtu.

Bati · 20. 01. 2016 10:57 — Editoval Bati (20. 01. 2016 11:08)

↑ byk7:
Zůsobů jak to definovat je spousta, ale žádný z nich není vyloženě jednoduchý. Ale je např. přirozené zkusit najít Laurentovu řadu, když chceme, aby výsledná funkce by byla meromorfní s pólem v 1 (harmonická řada). Řada vypadá takto
$\zeta(s)=\frac1{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(s-1)^n,\quad s\in\mathbb{C}\setminus\{1\}$ ,
kde čísla $\gamma_n$ jsou jistým zobecněním Euler-Mascheroni konstanty $\gamma_0$ :
$\gamma_n=\lim_{m\to\infty}\left(\sum_{k=1}^m\frac{(\log k)^n}{k}-\frac{(\log m)^{n+1}}{n+1}\right)$ .

Zeta funkce i ty samotné koeficienty (Stieltjesovy) jsou opravdu pozoruhodné objekty, které se dají vyjádřit mnoha velmi odlišnými způsoby a tím pádem souvisí skoro se vším, co je v matematice. Abych to ilustroval, opíšu sem ještě jednu definici přes integrál:
$\zeta(s)=\frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\int_0^{\infty}\frac{\sin(s\arctan{t})}{(1+t^2)^{s/2}(e^{\pi t}+1)}\,\mathrm{d}t, \quad s\in\mathbb{C}\setminus\{1\}$ .

vanok · 20. 01. 2016 13:04

Pozdravujem,
Zda sa mi, ze najlepsiu odpoved dal kolega ↑ Pavel:,
Ako prve citanie na tuto temu moze byt
https://archive.org/stream/divergentser … 2/mode/1up
Pre citatela co nema priliz vela casu je uzitocne citanie
https://terrytao.wordpress.com/2010/04/ … tinuation/
Inac cely bloc od Terry Tao je mimoriadny.

Na male zamyslenie : rozmyslajte o pojmoch konvergentny rad, divergentny rad, formalny rad

Rumburak

Ahoj vespolek.

Je dobré si zde uvědomit, že implikace $p \Rightarrow q$ složená z výroků $p, q$ je pravdivá i tehdy, když
výrok $p$ je nepravdivý. Předpokládáme-li platnost výroku, který je ve skutečnosti nepravdivý,
můžeme při patřičné šikovnosti dokázat v podstatě cokoliv. "Důkazy", o nichž je v tomto vlákně
pojednáno, jsou založeny na tom, že do řetězce úvah je vpašován nějaký předpoklad, který
ve skutečnosti splněn není .

Obvyklé triky:

Mlčky (a při tom chybně) se předpokládá, že

- nepřehledný výraz, kterým dělíme rovnici, je nenulový,

- řada, kterou přerovnáváme, je absolutně kovergentní (aby se nezměnil její součet),

- nějaký integrál existuje (abychom ho mohli "spočítat" a dojít k nějakému paradoxnímu výsledku)

a podobně.

vanok · 20. 01. 2016 14:27

Ahoj ↑ Rumburak:, a tiez vsetko pozitivne do Noveho roku.
Ano a ako aj tu, moze ist o nepresne vyjadrenie ... Dva rozne pojmy co su rovnako pomenovane....

Rumburak · 22. 01. 2016 10:52

↑ vanok:
Ahoj - opětuji přání šťastného nového roku :-) .

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2016 23:30

1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#2 19. 01. 2016 23:45

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#3 19. 01. 2016 23:52 — Editoval Ciza (19. 01. 2016 23:54) Příspěvek uživatele Ciza byl skryt uživatelem Ciza. Důvod: Má hloupost.

#4 19. 01. 2016 23:58 — Editoval Bati (20. 01. 2016 00:02)

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#5 20. 01. 2016 00:01

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#6 20. 01. 2016 00:04

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#7 20. 01. 2016 00:07 — Editoval Ciza (20. 01. 2016 00:14)

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#8 20. 01. 2016 00:12 — Editoval Bati (20. 01. 2016 00:15)

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#9 20. 01. 2016 00:12

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#10 20. 01. 2016 00:16

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#11 20. 01. 2016 00:21

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#12 20. 01. 2016 08:57 — Editoval Sergejevicz (20. 01. 2016 08:59)

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#13 20. 01. 2016 10:57 — Editoval Bati (20. 01. 2016 11:08)

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#14 20. 01. 2016 13:04

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#15 20. 01. 2016 14:13 — Editoval Rumburak (22. 01. 2016 10:54)

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#16 20. 01. 2016 14:27

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

#17 22. 01. 2016 10:52

Re: 1 + 1 + 1... = 1/2 nebo -1/2 ?

Zápatí