Matematické Fórum

byk7 · 13. 02. 2016 23:49

Buď $A$ reálná čtvercová matice řádu $n$ splňující $A^3=4I_n-3A$ . Určete $\det$A+I_n$$ .

vanok · 16. 02. 2016 18:03 — Editoval vanok (16. 02. 2018 16:30)

↑ byk7:,
Ahoj,
Osobne som najprv hladal matice A, ktore vyhovuju danej rovnici.
Evidentne, pre kazde n, matica $I_n$ vyhovuje.
Potom mozme vysetrit problem pre kazde n. ( co som zatial nerobil)

Od tial sa potom lahko urci hladany determinant.

A ty si nasiel ake riesenie?

laszky · 10. 02. 2018 17:08

Vyjadrenim matice A ve tvaru $A=P\Lambda P^{-1}$ a dosazenim do uvedene rovnosti zjistime jaka mohou byt vlastni cisla A. To lze potom vyuzit pri vypoctu toho determinantu a vychazi mi, ze by to melo byt $2^n$ .

vanok · 15. 02. 2018 15:51 — Editoval vanok (26. 02. 2018 11:11)

Ahoj ↑ laszky:,
Napis podrobne tvoje riesenie. Dakujem.

Mala otazka. Co by si povedal o komplexnej matici radu 1 takej, ze $A=(-\frac 12+i\frac {\sqrt {15}}2)$ ?

laszky · 08. 03. 2018 23:42

↑ vanok:

Sel jsem na to takto:

Pokud je $A=P\Lambda P^{-1}$ Jordanuv rozklad matice $A$ , potom $P(\Lambda^3+3\Lambda-4I_n) P^{-1}=0$ . Takze $M=\Lambda^3+3\Lambda-4I_n$ je podobna nulove matici a ma tedy vsechna vlastni cisla nulova. Protoze je M zaroven horni trojuhelnikova, ma na diagonale vlastni cisla, tj nuly. Vlastni cisla matice $\Lambda$ jsou tedy resenim rovnice $\lambda^3+3\lambda-4=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+4)=0$ . Proto ma $\Lambda$ na diagonale bud jednicky, nebo pary komplexnich cisel $-\frac{1}{2}\pm \frac{i}{2}\sqrt{15}$ . Matice $\Lambda+I_n$ ma na diagonale bud dvojky, nebo pary komplexnich cisel $\frac{1}{2}\pm \frac{i}{2}\sqrt{15}$ . Soucin tohoto paru komplexnich cisel je $\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=4$ . Takze $\det(\Lambda+I_n)=2^n$ . Proto je i $\det(A+I_n)= (\det P)\det(\Lambda+I_n)(\det P^{-1})=2^n$ .

Vanok: Na tu komplexni matici ti nepovim nic. :-)

vanok · 09. 03. 2018 00:25 — Editoval vanok (24. 07. 2019 11:43)

Je jPozdravujem ↑ laszky:,
Ano pre realne matice je to jednoduche. ( pouzitim Cayley Hamilton)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ale zatial nemam vseobecnu odpoved v inych situaciach. ( pre ine télesa)
No kolega ↑ byk7: neupresnil ci treba vysetrit aj take ine situacie.

Édit. Cf. Upresnenie

laszky · 09. 03. 2018 00:27

↑ vanok:

V zadani je ale "Bud A realna..." :-)

vanok · 09. 03. 2018 00:44

Ano, ale tie ine situacie mozno su mozno o mnoho tazsie a zaujimavejsie ...
Mozno sa k tomu po case vratime.

vanok · 24. 07. 2019 12:09 — Editoval vanok (24. 07. 2019 12:11)

↑ vanok:,
Pridam este maly doplnok v pripade realnych matic.
Minimalny polynom matice A je vzdy delitelom [ ktoreho factory su $x-1; x^2+x+4$ alebo aj suciny ich mocnin] charakteristickeho polynomu $p_c$ ( ktory je stupna n) tejto matice [ ktory je $\det(A-xI_n)$ ].
Tak mame
$p_c(x)= (x^2+x+4)^i (x-1)^{n-2i}$ pre jedno cele i, $0\le i \le \frac n2$ ,
to nam okamzite hladany determinant [ ktory je $p_c(-1)=....$ ]