Matematické Fórum

vanok · 13. 01. 2019 16:40

Pozdravujem.
Problem(55)
Vysetrite rad vseobecneho clenu
$u_n=\frac {a-(-1)^{n+1}\sqrt{n+1}}{(n+1)-(-1)^{n+1}\sqrt{n+1}}$ ; $a$ realne parameter.

Mozme sa inspirovat aj navodom, ktory som dal v probleme (53).

krakonoš

↑ vanok:
Na jmenovatele použijeme vzorec pro rozdíl čtverců.
Dále roznásobíme závorky v čitateli a rozdělíme výraz na čtyři zlomky
$\frac{(n+1)\cdot a}{n^{2}+n}+\frac{(-1)^{n+1}\cdot a\cdot \sqrt{n+1}}{n^{2}+n}-\frac{n+1}{n^{2}+n}\cdot (-1)^{n+1}\cdot \sqrt{n+1}-\frac{n+1}{n\cdot (n+1)}$ . Následně sloučíme první člen s posledním ve člen $\frac{a-1}{n}$ .
Dostaneme tak pro $a\not =1$ člen harmonické řady.Zbývající dva výrazy jsou členy konvergentních řad podle Leibnizova kriteria.Takže zadaná řada pro $a\not =1$ diverguje, a pro $a=1$ konverguje.

vanok · 13. 01. 2019 19:54

Ahoj ↑ krakonoš:,
To je tiez mozne dobre riesenie.
Tiez sa daju pozuit vhodne rozvoje.

A aj mozme vyuzit, ze pre $v_n =-\frac {(-1)^{ n+1}}{\sqrt {n+1}}$ je
$u_n-v_n=\frac {a-1}{(n+1)-(-1)^{n+1}\sqrt{n+1}}= \frac {a-1}{(n+1)(1-\frac {(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}$
je konstantneho znamienka a ekvivalentna z $\frac{a-1}{n +1}$ .

krakonoš

↑ vanok:
Také dobré řešení.Ono vlastně stačí nahradit tu poslední závorku ve jmenovateli např 2,dostaneme divergentní řadu, která je menší než tato. Nebo vzít limitu té závorky t.j. 1, takže řada nemůže konvergovat, protože nekonverguje a-1/n+1 - podle Abelova kritéria

vanok · 14. 01. 2019 17:30 — Editoval vanok (14. 01. 2019 17:31)

Pripomeniem tento problem ( dal som ho uz davno na fore, no neviem nast kde je).
Problem(56*)
Vysetrite rad ktoreho vsebecny clen je $\frac {(-1)^n}{\sqrt {n+(-1)^n}}$ .

Je zaujimave sa nad nim zamysliet.

vanok · 14. 01. 2019 23:51

Pripomenienka : problem 54 nie je este vyrieseny.

krakonoš · 15. 01. 2019 11:50

↑ vanok:
Ahoj.
Tady by asi stačilo vytknout mínus a čitatele umocnit na n+1.Řadu rozepíšeme a dáme vždy do závorky dva členy-tak jak jdou po sobě.
Zároveň si rozepíšeme řadu $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ a uzávorkujeme po dvou členech.
Součty v závorkách jsou u obou řad stejné.Zadaná řada by tedy měla konvergovat.

vanok · 15. 01. 2019 22:54 — Editoval vanok (15. 01. 2019 23:02)

Ahoj ↑ krakonoš:,
Dobre, mozes podrobne napisat tvoju metodu pre foristov, co takto ucinne studuju.

Pripominam, ze som pouzil na toto cvicenie, ze
$\frac {(-1)^n}{\sqrt {n+(-1)^n}}=\frac {(-1)^n}{\sqrt n})(1+\frac {(-1)^n}n) ^{-\frac 12}=\frac {(-1)^n}{n}-\frac 1{2n\sqrt n}+O(\frac 1 {n\sqrt n})$ co zarucuje konvergenciu radu.

Mala doplnujuca uvaha.
Ako to je z radom vseobecneho clenu
$\frac {(-1)^n}{\sqrt {n^a+(-1)^n}}$ , a realny parameter ?

krakonoš

↑ vanok:
Ahoj.
No,když to tak narychlo zkouším,připadá mi na první pohled,že pro a větší jak nula se daří dodržet pravidlo klesající funkce pro Leibnizovo kriterium (ten vytknutý člen).Pro a rovno nule to nedává vůbec smysl (dělení nulou)a v ostatních případech nebude limita zbytku rovna nule např pro a mínus jedna ta limita neexistuje a tak to bude asi i v dalších případech-kazí to tam to minus jedna na ntou pod odmocninou.
Měj se hezky.Musím dělat ještě spoustu jiných věcí.Poslední dobou se mi to nějak nakupilo!✋

vanok · 16. 01. 2019 03:48 — Editoval vanok (16. 01. 2019 03:57)

Pozdravujem ↑ krakonoš:,
Ked pouzijes metodu co som pouzil, mas okamzite :
Pre $a>\frac 23$ rad konverguje a inac je divergentny.

vanok · 16. 01. 2019 03:56 — Editoval vanok (16. 01. 2019 03:57)

Pozdravujem ↑↑ Bati:,
Tvoj problem(54) zatial nikoho neoslovil.
Moja myslienka je urobit ako prve Taylor-Young-ov rozvoj dostatocneho radu tvojej implicitnej fonkcie $f$ .
Je to tak aj v tvojom rieseni.

jardofpr · 16. 01. 2019 16:03

ahojte

vravím si že sa zapojím netradične, problém (54) som skúsil pomocou vety o implicitnej funkcii a l'Hospitalovho pravidla

funkcia $g(x,y)=\mathrm{e}^xy^2+\mathrm{e}^yx^2-y$ je nekonečne diferencovateľná
takže bude aj implicitná funkcia $f$ taká že $g(x,f(x))=0$ na vhodnom okolí bodu $x=0$

predpoklady vety o implicitnej funkcii sú splnené takže bude $f(0)=0$ a zároveň je $\lim_{x\to 0}f(x) = 0$

z derivácie rovnice $g(x,y)=0$ sa dostane $(f'(x) =)\,\, y' = -\frac{\mathrm{e}^xy^2+2\mathrm{e}^yx}{2\mathrm{e}^xy+\mathrm{e}^yx^2-1}$ a teda aj $\lim_{x\to 0 }f'(x)=0$

z derivácie rovnosti pre $y'$ sa dostane škaredý zlomok ako vyjadrenie pre $y''$ , ktorý pre $(x,y)=(0,0)$ dáva $y''(0)=2$

z toho všetkého je potom $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{f''(x)}{2}=\frac{y''(0)}{2}=1$ ak som niekde neurobil chybu

čo by ma zaujímalo je nejaké krajšie riešenie než toto drevorubačské

Bati · 16. 01. 2019 17:03

↑ jardofpr:
Jestli existuje elegantnejsi reseni nevim, moje je stejne (priklad jsem tak konstruoval). Zaverecna cast se muze udelat nekolika zpusoby (L'Hospital, Taylor, aritmetika limit)

vanok · 18. 01. 2019 18:08 — Editoval vanok (18. 01. 2019 18:09)

Pozdravujem,

Problem (57)
Vysetrite rad vseobecneho clenu $u_n=\frac {na^n}{(n+3)!}$ , kde $a$ je realne cislo.
Aka je jeho suma pre $a=1$ ?

laszky · 18. 01. 2019 18:41

↑ vanok:

Pozdravujem.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 18. 01. 2019 20:01 — Editoval vanok (18. 01. 2019 20:27)

Tu Servus ↑ laszky:,
Vyborne aj ked sa to da urobit o mnoho rychlejsie

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Akurat na tu prvu otazku, by som pridal, ze: Ten rad konverguje pre kazde $a$ ( kazdy najde vhodny test na to).

vanok · 18. 01. 2019 20:19

Pozdravujem,
Hned pridavam dalsi

Problem (58)
Nech $f$ je funkcia definovana na inrervalle $[-1;1]$ taka, ze $f(0)=0$ a ze je dérivabilna v bode $0$ . Nech $p$ , je prirodzene nenulove cislo, urcite $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=n}^{pn}f(\frac 1i)$

vanok · 19. 01. 2019 17:19 — Editoval vanok (20. 01. 2019 08:41)

Problem 58,
Hint 1.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jardofpr

ahoj ↑ vanok:

pekné cvičenie

môj pokus

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

stuart clark · 24. 01. 2019 19:36

problem (60) Evaluation of $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{x^{x^{x^{x}}}}-x^{x^{x^{x}}}}{(1-x)^5}.$

krakonoš

..

jardofpr · 24. 01. 2019 23:01

ahoj ↑ krakonoš:

pozor $x^{x^{x^{x^x}}}\neq \mathrm{e}^{x^4\ln{x}}$

krakonoš · 24. 01. 2019 23:24

↑ jardofpr:
Diky.Uz chapu jak to bylo mysleno.

jardofpr · 25. 01. 2019 13:19

hi ↑ stuart clark:

one of the possible ways to problem (60)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

krakonoš

↑ jardofpr:
Ahoj.
Zkoušela jsem si pro zajímavost ten případ kdy je x umocněno na xnaxtou.
Vyšla jsem z toho,že $\lim_{x\to1}\frac{x^{x}-x}{(1-x)^{2}}=1$ a s využitím této informace spočítat $\lim_{x\to1}\frac{x^{x^{x}}-x^{x}}{(1-x)^{3}}$ .Vyšla mi -1.Takže už zde vidím jistou stabilitu při porovnání s odpovídajícím polynomem (že by se mohly chovat stejně).Jedině se mi změnilo to znaménko, jestli jsem se nespletla ovšem.Takže zadaná limita by mohla být -1,pokud by docházelo k střídání znamének .
Koukám,že jsme se shodli jak časově tak na výsledku.To se mi ještě nestalo.

Matematické Fórum

#251 13. 01. 2019 16:40

Re: Limitny maraton

#252 13. 01. 2019 19:11 — Editoval krakonoš (13. 01. 2019 19:28)

Re: Limitny maraton

#253 13. 01. 2019 19:54

Re: Limitny maraton

#254 13. 01. 2019 21:49 — Editoval krakonoš (13. 01. 2019 21:52)

Re: Limitny maraton

#255 14. 01. 2019 17:30 — Editoval vanok (14. 01. 2019 17:31)

Re: Limitny maraton

#256 14. 01. 2019 23:51

Re: Limitny maraton

#257 15. 01. 2019 11:50

Re: Limitny maraton

#258 15. 01. 2019 22:54 — Editoval vanok (15. 01. 2019 23:02)

Re: Limitny maraton

#259 16. 01. 2019 00:34 — Editoval krakonoš (16. 01. 2019 01:08)

Re: Limitny maraton

#260 16. 01. 2019 03:48 — Editoval vanok (16. 01. 2019 03:57)

Re: Limitny maraton

#261 16. 01. 2019 03:56 — Editoval vanok (16. 01. 2019 03:57)

Re: Limitny maraton

#262 16. 01. 2019 16:03

Re: Limitny maraton

#263 16. 01. 2019 17:03

Re: Limitny maraton

#264 18. 01. 2019 18:08 — Editoval vanok (18. 01. 2019 18:09)

Re: Limitny maraton

#265 18. 01. 2019 18:41

Re: Limitny maraton

#266 18. 01. 2019 20:01 — Editoval vanok (18. 01. 2019 20:27)

Re: Limitny maraton

#267 18. 01. 2019 20:19

Re: Limitny maraton

#268 19. 01. 2019 17:19 — Editoval vanok (20. 01. 2019 08:41)

Re: Limitny maraton

#269 19. 01. 2019 19:15 — Editoval jardofpr (19. 01. 2019 19:17)

Re: Limitny maraton

#270 24. 01. 2019 19:36

Re: Limitny maraton

#271 24. 01. 2019 22:47 — Editoval krakonoš (24. 01. 2019 23:23)

Re: Limitny maraton

#272 24. 01. 2019 23:01

Re: Limitny maraton

#273 24. 01. 2019 23:24

Re: Limitny maraton

#274 25. 01. 2019 13:19

Re: Limitny maraton

#275 25. 01. 2019 13:26 — Editoval krakonoš (25. 01. 2019 13:29)

Re: Limitny maraton

Zápatí