Matematické Fórum

Poznamka
Tento dokaz funguje aj ked
.

Ahoj ↑ check_drummer:,
Ano.

Ahoj, f je v

Ahoj ↑ krakonoš:,
Ak mas moznost, precitaj si krasnu knihu A Course of Pure Mathematics by G. H. Hardy ( a specialne cvicenie 36 na strane 313 v tretej edicii z 1921 tejto knihy). 

Inac, co sa tyka ineho riesenia daneho problemu mozes polozit kde   a integrovat tuto diferentialnu rovnicu.

Ahoj ↑ jardofpr:,
Ja viem, no ta diskuzia sa mi zdala evidentna.   No knihy od Hardy to su velkodiela.   Ze.  (No aspon ako prve citanie).

Kontrola. 

Skrytý text:
Iste ste overili, ze
.
Tiez , ze ste vhodne upravili
a vhodne rozdelili na dve casti...( ktore konverguju v k nule)

Prvy krok k rieseniu:
Aby postupnost v ↑ vanok: bola dobre definovana je treba pre kazde prirodzene . 
Cize, ekvivalentne je v akom intervale?

Odpoved ↑ vanok:,
Iste ste nasli,  ze dana ekvivalencia je , pre kazde .

Pozdravujem ↑ krakonoš:,
Dobre si popisala situaciu v pripadoch, ked dana postupnost konverguje. 
Mozno studenti - foristi by radi videli viac podrobnosti. 
( v rieseni, ktore som planoval tu dat by som vyuzil, vlasnosti monotonosti realnych recurentnych postupnosti radu 1. No po citani  tvojho prispevku, je mozne, ze to nie je uzitocne tu podrobne urobit. )’

Ahoj ↑ vanok:,
posloupnost [mathjax]a_k=\frac1k[/mathjax] konverguje k nule a postupne prumerovani jejich clenu na tom nic zmenit nemuze.

Podrobneji: Bud [mathjax]\epsilon>0[/mathjax]. Protoze [mathjax]|a_k|\to0[/mathjax], existuje [mathjax]k_0[/mathjax] takove, ze [mathjax]|a_k|<\frac{\epsilon}2[/mathjax] pro vsechna [mathjax]k>k_0[/mathjax]. Zvolime-li [mathjax]n_0>\max(k_0,\frac2{\epsilon}\sum_{k=1}^{k_0}|a_k|)[/mathjax], potom pro vsechny [mathjax]n>n_0[/mathjax] plati
[mathjax]\lvert\frac1{n}\sum_{k=1}^na_k\rvert\leq\frac1n\sum_{k=1}^{k_0}|a_k|+\frac1n\sum_{k=k_0+1}^n|a_k|\leq\frac{\epsilon}2+\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{\epsilon}2=\epsilon[/mathjax],
takze [mathjax]\frac1{n}\sum_{k=1}^na_k\to0[/mathjax]. Misto [mathjax]0[/mathjax] muze byt jakakoliv jina limita a da se na to cele taky divat jako na jednoduchy dusledek Stolz-Cesarovy vety.

Pozdravujem ↑ Bati:,
Poznamka problem 110 sa moze vyriesit aj vdaka tomu, [mathjax]u_ n =\sum_{k=1}^{n} \frac 1 {kn}[/mathjax] je kladna klesajuca postupnost.

↑ Brano:
Je to tak. Rovnost [mathjax]\sin(1+x)=sin 1+x\cos1[/mathjax] je pekny "trik". Jsi na rade.

112. Vysetrite konvergenciu radu: [mathjax]\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\,\text{gpd}(n)^2},[/mathjax]
kde [mathjax]\text{gpd}(n)=\text{'greatest prime divisor of' } n[/mathjax].