Matematické Fórum

vanok · 22. 11. 2019 18:46

Pokracovanie ↑↑ vanok:,
Problem (100) , indikacie:
Mozme vyhodne pouzit, ze ak $n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$ kde $p_i$ su rozne prvocisla a $a_i>0$ prirodzene cisla, ze potom
$d(n)=(a_1+1)...(a_k+1)$ .

Tiez moze byt uzitocne pouzit funkciu $\delta :\Bbb N^2 \to \{ 0;1\}$ taku, ze
$\delta (i;j)=1$ ak $i$ deli $j$ a
$\delta (i;j)=0$ ak $i$ nedeli $j$ .

krakonoš · 22. 11. 2019 20:21

↑↑ vanok:
Zdravím.
Nevím, jak je tomu dnes, ale v 80tých letech se na matematice studovaly 4 obory(matematická analýza,pravděpodobnost a statistika -tyto dva obory měly první dva roky sloučenou výuku.Podobně numerická matematika a kybernetika).Algebra se učila první tři semestry a lineární algebra první dva semestry.Jako obor se asi dala studovat jen individuálně, i počtem hodin toho bylo méně, zatímco ve druháku byla analýza asi10-12 hodin týdně.

vanok · 23. 11. 2019 14:04 — Editoval vanok (24. 11. 2019 11:59)

Pokracovanie ↑ vanok:,
Cize mame $d(n)= \sum_{i=1}^{n}\delta (i;n)$ a pochopitelne
$u_n=\frac 1 n \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j}\delta (i;j)=\frac 1n \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i }^{n}\delta(i,j)$
(vymenil som riadky a stlpce v trojuholnikovej « tabulke »).
Akoze pre dane i, $\sum_{j=i}^{n}\delta (i,j)$ je pocet nasobkov cisla i mensich alebo roznych ako n; a je to cislo k take ze $k.i \le n\le (k+1).i$ a tak $k=[\frac ni]$
( kde [.] je funkcia cela cast), co nam da : $u_n=...$
Dokazete to dokoncit?

vanok · 24. 11. 2019 12:17 — Editoval vanok (24. 11. 2019 12:39)

Ukoncenie ↑ vanok:
To znamena $u_ n= \frac 1n \sum_{i=n}^{n} [\frac ni]$ a $\frac 1n \sum_{i=1}^{n} (\frac ni-1)\le u_n\le \frac 1n \sum_{i=1}^{n} \frac ni$
$\sum_{i=1}^{n} (\frac ni-1)\le u_n \le \sum_{i=1}^{n} \frac ni$
Cize $\sum_{i=2}^{n} \frac ni \le u_n\le \sum_{i=1}^{n} \frac ni$ .
Tak postupnost $(u_n)$ diverguje.

Na druhu otazku pouzijeme
$\ln (n+1) \le \sum_{i=1}^n \frac 1n \le \ln (n)+1$
Co da
$\frac {\ln (n+1) -1}{\ln (n)} \le v_n \le \frac {\ln (n)+1}{\ln (n)}$ .
A tak postupnost $(v_n)$ converguje k $1$ .
To tiez znamena, ze $u_n \sim \ln(n)$ ( u_n je ekvivalentne z ln (n) ).

stuart clark

(101) Evaluation of $\lim_{n\rightarrow \infty}e^{-n}\sum^{n}_{k=0}\frac{n^k}{k!}$

vanok · 25. 11. 2019 16:14

Hi ↑ stuart clark:,
Look, for example, here
https://math.stackexchange.com/question … 1&lq=1

stuart clark

↑ vanok: Thanks vanok.

Problem (102) Evaluate $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{\sqrt{1-\cos(x^2-10x+21)}}{x-3}$

krakonoš · 11. 12. 2019 13:18

↑ stuart clark:
Hi

$L=\lim_{x\to3^{-}}\frac{\sqrt{1-cos((x-7)(x-3))}}{x-3}=$ $\lim_{x\to3^{-}}\frac{|sin((x-7)(x-3))|}{\sqrt{1+cos((x-7)(x-3))}\cdot (x-3)}$ $=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \lim_{x\to3^{-}}\frac{|(x-7)(x-3)|}{x-3}=$ $-\frac{4}{\sqrt{2}}$

vanok · 02. 01. 2020 23:53

Problem (103).

Vdaka Riemann-ovej sume vyjadrite
$\lim_{n\to+\infty}\frac {\sqrt[n]{n!}}{n}$

auditor

Zdravím ↑ vanok:

$a_{n} = \frac{n!^{1/n}}{n}$
$\ln{a_{n}} = \frac{1}{n} (\ln{n!} - n\ln{n}) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln{(\frac{k}{n})}$
$\lim_{n\to\infty } \ln{a_{n}}= \int_{0}^{1} \ln{x} {\mathrm{d}}x = [x\ln{x}-x]^{1}_{0} = -1$
$\lim_{n\to\infty } a_{n} = \frac{1}{e}$

krakonoš

↑ auditor:
Problem103
Zdravím.
Taky jsem takto postupovala.Ještě jsem pro kontrolu použila Stirlingův vzorec pro n! - jiný adekvátní postup.,nejdou mi psát vzorce,nemám signál.

vanok · 05. 01. 2020 07:31 — Editoval vanok (05. 01. 2020 07:53)

Ahoj ↑ auditor:,
Ano to je dobre riesenie.
Trosicku rychlejsie riesenie sa najde vdaka konstatacii, ze $a_n=\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$ .

stuart clark · 10. 02. 2020 08:48

Problem (104) : Finding $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\int^{1}_{0}x^n\sin(x^{n})dx}{\int^{1}_{0}x^n\ln(1+x)dx}$

krakonoš

↑ stuart clark:
(Problem104)
Hi
$\int_{0}^{1}x^{n}ln(1+x)dx=\frac{ln2}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}+1-1}{x+1}dx$ $=\frac{2ln2}{n+1}+\frac{1}{n+1}\cdot \sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k}}{k}$

$\int_{0}^{1}x^{n}sin(x^{n})dx=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}y^{\frac{1}{n}}sin y dy$
$f_{n}(y)\Rightarrow f(y)$ uniform convergention on interval (0;1)
$\lim_{n\to\infty }sup|(sin y )(y^{\frac{1}{n}}-1)|=0$
$L=\lim_{n\to\infty }\frac{\int_{0}^{1}x^{n}sin(x^{n})dx}{\int_{0}^{1}x^{n}ln(1+x)dx}$
$L=\lim_{n\to\infty }\frac{n+1}{n}\cdot \int_{0}^{1}\lim_{n\to\infty }y^{\frac{1}{n}}sin y dy\cdot \frac{1}{ln2}=\frac{1-cos1}{ln2}$

NOTE
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{k}=-ln 2$

stuart clark

Thanks ↑ krakonoš:

Problem (105)

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-n\tan\bigg(\frac{\arctan x}{n}\bigg)}{n\sin\bigg(\frac{\arctan x}{n}\bigg)-x}$ for $n\in \mathbb{N}$

krakonoš · 01. 03. 2020 08:53

↑ stuart clark:
Hi Stuart Clark., Problem 105
First I used the substitution for arctan x/n, bud there was no limit.
So I have used Maclaurin series for functions. I have got the result
$\frac{2-\frac{2}{n^{2}}}{-\frac{1}{n^{2}{}}-2}$ .(if I then numerically somewhere mistaken)

vanok · 06. 03. 2020 00:01 — Editoval vanok (06. 03. 2020 00:03)

Pozdravujem.
Problem (106).

Vysetrite konvergenciu postupnosti definovanej takto $x_{n+1}=\frac 12(x_n+\frac 1{x_n})$ kde $x_0\in \Bbb C$ .

(Podla Newman, Seminar)

vanok · 06. 03. 2020 16:49

Problem (106).
Mozny navod.
Vyuzite, ze pre $z$ complexne mame $\frac {1+z^2}{1-z^2}=\frac 12(\frac {1+z}{1-z}+ \frac {1-z}{1+z})$ .

vanok · 07. 03. 2020 16:23

↑ vanok:
Problem (106).
Teraz mozte urobit zmenu premennych:
polozte $x_n=\frac {1+z_n}{1-z_n}$ .
Vysetrite ako to transformuje vzorec dany v ↑ vanok:?

vanok · 08. 03. 2020 22:59 — Editoval vanok (10. 03. 2020 10:20)

Problem (106).
Kontrola.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

stuart clark · 17. 03. 2020 10:11

Problem (107) : If $\lim_{r\rightarrow \infty}r^C\cdot \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}x^r\sin xdx\cdot \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}x^r\cos xdx}=L.$ Then $(C,L)=$

where $L>0$ and $C\in \mathbb{R}$

vanok · 24. 04. 2020 12:42

Problem (108).
Nech $f: \Bbb {R_+} \to \Bbb R$ je $C^1$ , taka, ze $\lim_{x\to +\infty}( f^ {\prime}(x)+f(x))=0$ .
Co mozte dokazat o $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ ?

vanok · 25. 04. 2020 09:03

↑ vanok:
Pomoc.
Jedna, mozna metoda, je pouzit L’Hôpistal-ove pravidlo.

krakonoš · 25. 04. 2020 11:26

↑ vanok:
Ahoj.
Já myslela že je to příklad na omezenost funkce,že kdyby měla f(x) konečnou limitu,tak by tam byla omezenost,kde např limita je vlastně jejím supremem, resp infinem,pak by podle mě byla limita derivace této funkce rovna nule, takže by vyhovovala jedině nulová limita fce f.O případu, kdy f(x) nemá smysl uvažovat.

vanok · 25. 04. 2020 12:21 — Editoval vanok (15. 07. 2020 21:39)

Pozdravujem ↑ krakonoš:,
Napisem tak ako to riesit ,( ale su aj ine cesty k rieseniu).
Staci, si uvedomit, ze
$\lim_{ x \to +\infty}f(x) = \lim_{ x \to +\infty} \frac {e^xf(x) }{e^x}= \lim_{ x \to +\infty} \frac {e^x(f(x) +f^{\prime}(x))}{e^x}=\\ \lim_{ x \to +\infty}(f(x) +f^{\prime}(x))$ .

A aby som nezabudol, vela zdravia a pekny den.

Matematické Fórum

#551 22. 11. 2019 18:46

Re: Limitny maraton

#552 22. 11. 2019 20:21

Re: Limitny maraton

#553 23. 11. 2019 14:04 — Editoval vanok (24. 11. 2019 11:59)

Re: Limitny maraton

#554 24. 11. 2019 12:17 — Editoval vanok (24. 11. 2019 12:39)

Re: Limitny maraton

#555 25. 11. 2019 15:24 — Editoval stuart clark (25. 11. 2019 15:24)

Re: Limitny maraton

#556 25. 11. 2019 16:14

Re: Limitny maraton

#557 11. 12. 2019 10:31 — Editoval stuart clark (11. 12. 2019 10:34)

Re: Limitny maraton

#558 11. 12. 2019 13:18

Re: Limitny maraton

#559 02. 01. 2020 23:53

Re: Limitny maraton

#560 03. 01. 2020 10:37 — Editoval auditor (03. 01. 2020 21:24)

Re: Limitny maraton

#561 03. 01. 2020 12:09 — Editoval krakonoš (03. 01. 2020 12:14)

Re: Limitny maraton

#562 05. 01. 2020 07:31 — Editoval vanok (05. 01. 2020 07:53)

Re: Limitny maraton

#563 10. 02. 2020 08:48

Re: Limitny maraton

#564 10. 02. 2020 18:42 — Editoval krakonoš (19. 02. 2020 12:49)

Re: Limitny maraton

#565 29. 02. 2020 09:43 — Editoval stuart clark (29. 02. 2020 09:44)

Re: Limitny maraton

#566 01. 03. 2020 08:53

Re: Limitny maraton

#567 06. 03. 2020 00:01 — Editoval vanok (06. 03. 2020 00:03)

Re: Limitny maraton

#568 06. 03. 2020 16:49

Re: Limitny maraton

#569 07. 03. 2020 16:23

Re: Limitny maraton

#570 08. 03. 2020 22:59 — Editoval vanok (10. 03. 2020 10:20)

Re: Limitny maraton

#571 17. 03. 2020 10:11

Re: Limitny maraton

#572 24. 04. 2020 12:42

Re: Limitny maraton

#573 25. 04. 2020 09:03

Re: Limitny maraton

#574 25. 04. 2020 11:26

Re: Limitny maraton

#575 25. 04. 2020 12:21 — Editoval vanok (15. 07. 2020 21:39)

Re: Limitny maraton

Zápatí