Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#151 06. 11. 2018 01:54 — Editoval krakonoš (06. 11. 2018 10:24)

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ vanok:Ahoj.
Ano ,v tom s tebou souhlasim.Jen me zarazilo to zadani,ze nebylo uvedeno,aby se to zkoumalo v zavislosti na volbe prvniho clenu a ten byl zadan jako parametr.
Mozna u pripadu,kdy je u0 napr 100,by  stacilo dokazat,ze posl klesa,je zdola omezena,takze ma limitu,kterou nalezneme jako reseni rovnice x rovno odmocnina (2x  plus 3).


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#152 06. 11. 2018 02:20 — Editoval krakonoš (06. 11. 2018 02:24)

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ vanok:Ahoj.
Jeste k prikladu 40.
Reseni nabidla  Marian.Ta si vsimla,ze castecny soucet rady lze zapsat jako rozdil dvou castecnych souctu harmonickych rad delky 2n a n.Spocteme limitu rozdilu castecneho souctu rady delky n a  logaritmu n pro n jdouci do nekonecna .Tento rozdil bude Eulerova Mascher konstanta.Podobne u druhe rady.Odectenim obou limit dostaneme,ze log(2n)-log(n) je  rovno nasi zadane rade. Aspon tak to vidim ja.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#153 06. 11. 2018 03:25

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

↑ krakonoš:
Cau, to si chcela hovorit tu o priklade 42. 
No, tu vlastne ked urobis poctivo cele cvicenie mas vseobecne riesenie.  A to je krajsia praca ako riesit specialne pripady.   
Mozno pridam este dalsie problemy o rekurentnych postupnostiach.  To sa tu na fore zatial vela nevidelo. 
No aj ked sme to nekreslili, na grafe funkcie f sa pekne vidi ako to funguje. 

Dobru noc.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#154 06. 11. 2018 12:04

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Problem (43).

Vysetrite postupnost $(u_n)$ ak  $u_0$ je dane a $u_{n+1}=\frac 13 (4- u_n^2)$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#155 07. 11. 2018 16:42

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ Pavel:
Cau.
Vzhledem k tomu,ze prave probiha vyuka limit,rozhodla jsem se uvest i jine postupy jiz starych uloh.
Cviceni 5.
Upravime cleny ve velkych zavorkach,dostaneme pak uvnitr velkych zavorek cleny 1-x a 1plusx. Budeme pocitat limitu jdouci do nekonecna ,misto jdouci k nule,takze misto x dosadime 1/x a obracene. Vypocet se hodne zjednodusi. Misto k nule zprava pujdeme do plus nekonecna.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#156 07. 11. 2018 17:24

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ vytautas:
Co se tyce cviceni 2,
zde po vytknuti a naslednem vykraceni $e^{x}$  nebude uz ve jmenovateli neurcity vyraz,pocitame-li limitu citatele,pristoupime k vypoctu logaritmu citatele.Dale vyuzijeme  upravy  pomoci rozdilu ctvercu,podelime citatele i jmenovatele x.Ve jmenovateli rozdelime zlomek ve dva zlomky .Dale vyjadrime x jako odmocninu x nadruhou a dame pod jednu odmocninu.A dostaneme 1/2.Cili vysledek bude$e^{1/2}$.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#157 07. 11. 2018 17:29

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ Brzls:
Co se tyce cviceni 4,
zde staci rozdéit zlomek a uvedpmit si,ze sin(x) se chova v okoli nuly stejne jako argument.A tg(x) rovnez.Vysledna limita bude tedy nula


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#158 07. 11. 2018 17:47

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

Bude-li zajem,mohu se zamyslet i nad jinymi priklady,a nasledne mohou byt  v pripade odsouhlaseni presunuty pod jednotliva cviceni.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#159 07. 11. 2018 20:40 — Editoval vanok (08. 11. 2018 01:19)

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
Male myslienky. 
Pokial, v cviceniach sa objavilo dobre a jasne riesenie, ktore je schopny najst ( alebo aspon rozumiet) student, tak je to je dostatocne uspokovive. 
Co je aj pripad Cvicenia (2). 
V tom cviceni je dobre pochopit, ze 1 v menovateli je  « nepodstatna » .... a k tomu sa dopracoval po usmerneni kolega vytaukas.  Preto som tam nedal ziadne ine riesenie.   

Niekedy je tiez rychle pouzit « mocne » teoremy.  Ale pouzitie, zdanlivo komplikovanych postupov bez nich, tiez moze viest k rieseniu. ( a po porovnani postupov, niekedy sa da vidiet, ze druhy postup obsahuje myslienky dokazu mocnej teoremy...)

Co je dolezite, podla mna, je schopnost riesit cvicenia a na to je pre normalnych ludi jedina metoda, pokusat sa riesit samostatne co najviac cviceni. ( mysli na zname prislovie :
L'appétit vient en mangeant). 

A ozaj problem (43) je trochu komplexnejsi ako predosly. Zacala si ho « vysetrovat »?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#160 07. 11. 2018 23:47

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:Co se tyce cviceni (43),pomoci Bolzano Cauchyho podminky lze dokazat,ze posloupnost konverguje pro u0 $\in $$\in \ll -1;4\gg $. Pro hodnotu parametru 4  je limita -4, jinak 1.Tak to vidim ja. Mohou i jini lide uvest sve postupy.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#161 08. 11. 2018 02:00 — Editoval vanok (13. 11. 2018 08:40)

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
Problem (43).
Pokracuj vo vysetrovani.  ( pouzitie grafu nie je riesenie ale moze pomoct), zatial si nedala  ani presnu presnu odpoved a ani si nic nedokazala.
To mas pravdu, aj ini mozu reagovat.   


Pre tych co chcu napredovat davam hint a  otazky, ktore mozu pomoct. 
Ake su mozne hodnoty pre pripadnu hodnotu limity $l$.
Pre ake $u_0$ dana postupnost diverguje k $-\infty$.
Pre ake $u_0$ dana postupnost je rastuca (a omedzena?). 
Pre ake $u_0$ dana postupnost je konstantna?
Pre ake $u_0$ dana postupnost sa stane stacionarna?
( vsetko je potrebne dokazat).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#162 08. 11. 2018 08:39 — Editoval krakonoš (08. 11. 2018 08:58)

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Pro ktera u0 pisloupnost konverguje,urcuje jednoznacne BolzanovoCauchyho kriterium.To je dukaz.Tato metoda je vseobecne uznavana a je popsana v kazde ucebnici analyzy,i v Jarnikovi.Zadnou grafiku jsem nepouzila.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#163 08. 11. 2018 10:12 — Editoval vanok (08. 11. 2018 10:41)

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ krakonoš:,
Tak pockaj na uplny  dokaz, za urcity cas ho sem dam.
Inac co sa stane v pripade ak napr. $u_0=-2$? ( o ktorom nic nepises)

Male poznamky. 

Vysetrit postupnost znamena, ze potom  citatel jeho “vysetrenia” bude vediet potom ako sa sprava ta postupnost pre kazde $u_0$

Citat nejaku knihu, aj od na genialnejsieho autora nestaci na to, ze jeho citatelia budu vediet vsetko riesit bez prace a podrobneho vysvetlenia.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#164 08. 11. 2018 10:31

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:Diky. Rada si prohlednu a ujasnim i jine  myslenky.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#165 11. 11. 2018 23:38 — Editoval vanok (13. 11. 2018 08:37)

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Problem (43) riesenie. 
Uz vyssie som napisal, co znamena vyraz vysetrit.  ( to nie je hadanie a napisanie nejakej nepresnej odpovedi ... aspon ak hladate mat vyborne hodnotenie od vasho skusajuceho )

Tiez, som napisem, co iste kazdy skusajuci by chcel vidiet od poctiveho studenta.  ( Pozor, nejake jednoduche uvahy necham doplnit citatelovy).

Najprv je jasne, ze mozne hodnoty pre pripadnu hodnotu limity $l$ splnuju $l=\frac 13(4-l^2)$ co je ekvivalentne (overte ) z $l=1$ alebo $l=-4$.

Tiez lahko ukazeme, ze $ u_{n+1 }\le u_n$ len a len ak $ u_n \in [-4;1]$.

I) Ak  $u_0<-4$ dana postupnost diverguje k $-\infty$.
Mat. indukciou ukazeme ze dana postupnost je klesajuca a ze nie je dolno ohranicena, ak by bola tak tak by bola konvergentna a jej limita $l<-4$ co je nemozne.  Tak je divergentna. 

II) Ak $u_0>4$, tak $u_1<-4$ a mozme s inspirovat uvahou v I)

III) $u_0 \in ]-4;0]$; funkcia $f:x \mapsto \frac 13 (4-x^2)$ je rastuca na $[-4 ;1]$ vtedy prve cleny postupnosti su rastuce no vsak $0$ nemoze byt jeho majorant   (tak nie je mozne, ze jeho limita je v $]-4;0]$ ) a preto existuje prirodzene $k$
take, ze $ u_k > 0$ a $ u_k \leq \frac 43 $ ( lebo $\frac 43$ je maximum funkcie $f$)

To doriesime v V).
IV) Ak $u_0 \in [2;4[$, tak $u_1 \in ]-4;0]$ a sme v situacii III) ( vdaka zmene indexov). 
V) Pre $u_0 \in [0;2]$ vsetko cleny postupnosti su v intervale vzdy  $[0;2]$.
Funkcia $f$ je na nom klesajuca, a preto postupnost $u_{2n}$ je rastuca pre $u_0 \in [0;1]$ (lebo ak $1< u_0 \le 2$ tak $0\le u_1 <1$ )
Mozne limity pre tuto postupnost splnuju $4-\(\frac {4-l^2}3 \)^2 =3l$  co da
$l^4-8l^2+27l-20=0$ a este $(l^2+3l-4)(l^2-3l+1)=0$; realne korene poslednej rovnice su $l=1$ a $l=-4$. A tu vyhovuje len $l=1$
A tak tu tato rastuca  postupnost ma majorant $1$ a jej limita je $1$.
Postupnost $u_{2n+1}$ ma tu istu limitu.
Cize postupnost $ u_n$ konverguje v tomto pripade k $1$.
VI) Na viac:
Pre  $u_0=1$  dana postupnost je konstantna $u_n=1$.
Pre  $u_0=-4$ dana postupnost  je tiez konstantna. 
Pre $u_0=4$ dana postupnost je stacionarna od $n=1$.

Zhrnutie. 
Pre $|u_0|>4$ postupnost diverguje (k $-\infty$),
pre $|u_0|<4$ postupnost konverguje k $1$.
A pre  $u_0=-4$ dana postupnost  je  konstantna $u_n=-4$.
Pre $u_0=4$ dana postupnost je stacionarna od $n=1$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#166 14. 11. 2018 18:04

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Problem (44).

Nech je dana postupnost $(u_n)$ taka, ze
$u_1=2$
$u_{n+1}=u_n+\sqrt {1+\frac{u_n}n }$, n nenulove prirodzene cislo .
Dokazte, ze postupnost $\(\frac {u_n}n\)_{n \ge 1}$ konverguje. 

Vieme nast jej linitu?

Poznamka.  Problem z webu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#167 15. 11. 2018 02:00

laszky
Příspěvky: 2366
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   195 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Ahoj, ja bych rekl, ze kdyz $\frac{u_n}{n}\to a$, potom $u_n\approx an$ pro velka $n$. Kdyz to dosadim do rovnice, potom ziskam
$a(n+1)=an + \sqrt{1+a} \quad\Rightarrow\quad a^2-a-1=0 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.

Protoze jsou evidentne vsechna $u_n$ kladna, je $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Zlaty rez je tedy jedina mozna limita $\frac{u_n}{n}$. Zbyva ukazat, ze tomu tak doopravdy je:

Offline

 

#168 15. 11. 2018 04:03 — Editoval vanok (15. 11. 2018 08:54)

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Servus ↑ laszky:,
Dakujem, ze ta moje problemy zaujimaju. 
Skutocne si ukazal, ze mozna limita je a ( zlaty rez).  ( cize $a=\sqrt{1+a}$). Co si potom dokazal.

Druhy dokaz. 
No vsak, zda sa mi, ze tento dokaz je jednoduchsi. 
Polozim, $v_n=\frac {u_n}n$.
Mame, ak $x > a$,tak aj $x> \sqrt {1+x}$
Tiez mame rekurentnu relaciu : $(n+1)v_{n+1}=nv_n+\sqrt {1+v_n}$
Indukciou ukazeme, ze $a$ je dolna hranica pre $v_n$
Preto aj $v_n >\sqrt {1+v_n}$, co da, ze postupnost $v_n$ je klesajuca....a tak konverguje ....oznacme jej limitu $l$
A $l\le a$ .

Akoze $ n(v_n-v_{n+1})=v_{n+1}- \sqrt {1+v_n}$, konverguje ku $k=l+\sqrt {1+l}\ge0$,
a $k$ musi byt $=0$ inac mame spor ( $ v_n $ by divergovala ). 
Co da $l=a$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#169 15. 11. 2018 15:27 — Editoval krakonoš (15. 11. 2018 15:53)

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑ laszky:Ahoj.
Nad timto problemem jsem  premyslela take.Posloupnost un ma kladne cleny a je rostouci,kdyby byla  shora omezena,mela by mit konecnou limitu  . Rozdil clenu u( n plus 1)- u(n) ale jde k nule,zatimco vyraz pod odmocninou jde k 1.Z toho usuzuji ,ze un neni omezena shora.
Co kdyby vsak un mela limitu nekonecno?To by tez vyhovovalo rovnici jako a.A  jak vyvratit,ze neni radove vic jak n,to by limita podilu un/n sla do nekonecna.Jedine to asi zkusit pro to vase a konecne,a tim to cele vyvratit,protoze nemuze mit dve ruzne limity.
Diky.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#170 17. 11. 2018 16:16

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Problem (44).
Ahoj ↑ krakonoš:,
Zaujimat sa o postupnost $u_n$ je iste zabavne, ale pozor tu nam ide o $v_n=\frac {u_n}n$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#171 17. 11. 2018 18:47

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Ja totiz myslela,ze kdyz limita un  existuje a je nekonecno ( viz vyse)  a ze zadani je patrne,ze u(n) je radu n.Tak to dokazuje i existenci a konvergenci limity u(n)/n.A zlaty rez(t.j.a)  musi byt limitou u(n)/n.,protoze jediny vyhovuje rovnici ,kde figuruje u(n)/n pak by se uz asi nemuselo dokazovat,ze  u(n)/n jde v absolutni hodnote k nule???
Lida


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#172 18. 11. 2018 00:34

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

↑ krakonoš:, prestuduj si .↑ vanok:


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#173 19. 11. 2018 16:22 — Editoval krakonoš (19. 11. 2018 16:32)

krakonoš
Příspěvky: 1162
Reputace:   34 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Prostudovala jsem si peclive tvuj dukaz.To,ze je posloupnost v(n)  konvergentni,uz vyplyva Jen z toho,ze je klesajici a zdola omezena,protoze neni zaporna.Takze musi mit limitu a,tam vyhovuje ta rovnice popsana vyse.
Lida


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#174 24. 11. 2018 13:34 — Editoval vanok (24. 11. 2018 13:35)

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Problem (45)
Vysetrite $e^{x+\sin x}-e^x$ v okoli $+\infty$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#175 26. 11. 2018 20:42

vanok
Příspěvky: 14463
Reputace:   741 
 

Re: Limitny maraton

Problem(45)
Hint. Ukazte, ze limita v $+\infty$  nexistuje.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson