Matematické Fórum

havlis · 18. 02. 2016 10:24

Ahoj.
Potřeboval bych vypočítat úhel a plochu kruhové úseče, když znám její těžiště a poloměr kruhu.
V tabulkách jsem našel vzorec pro souřadnici těžiště v závislosti na poloměru a úhlu, ale vzhldem k tomu, že jsem již nějakou tu dobu ze školy, neumím z toho dostat závislost úhlu na poloměru a souřadnici těžiště.

$e_{0} = \frac{4}{3} r \frac{sin^{3}\frac{\varphi}{2}}{\varphi -sin\varphi }$

Je tu někdo chytrý, kdo by to dokázal? A nebo to dokázal jinak?
Tedy spočítat to numericky za pomoci vba kodu v excelu umím, ale lepší by byl vzorec...

jelena · 19. 02. 2016 12:32 — Editoval jelena (19. 02. 2016 22:44)

Zdravím,

pokud jde o odvození z uvedeného vzorce ve tvaru $\varphi=f(e_0, r)$ , tak to se nepodaří a nezbývá, než řešení najít numericky. Pokud jde o jiný způsob odvození, tak v souřadnici těžiště plošného tělesa konstantní hustoty potřebujeme obsah obrazce, jehož těžiště počítáme, zde je závislost obsahu na úhlu a na sin(úhlu) - běžný vzorec, který se používá. Ovšem existuji také odvozené vzorce, kde ani hodnota úhlu, ani jeho geometrických funkcí nejsou. V odkazu na závěr tabulky je také i vzorec pro výpočet těžiště bez užité úhlu, ale odvození rozměru tětivy a obsahu může také užití úhlu vyžadovat.

Zda by takovou kombinaci vzorců podařilo při odvození (str. 22 pdf, úloha T4) dosáhnout pouze goniometrické funkce ve výsledném vzorci a tedy i odvodit požadovaný úhel, to neřeknu. Spíš bych řekla, že jednotlivé rozměry mohou být opět propojeny odvozením přes úhel. Ale celé jsem nezkoušela odvozovat, snad se ozve i někdo chytrý :-)

Edit: oprava překlepů

Matematické Fórum

#1 18. 02. 2016 10:24

Plocha a úhel kruhové úseče z těžiště a poloměru

#2 19. 02. 2016 12:32 — Editoval jelena (19. 02. 2016 22:44)

Re: Plocha a úhel kruhové úseče z těžiště a poloměru

Zápatí