Matematické Fórum

Contemplator · 10. 03. 2016 13:49

Dobrý deň, môžte mi niekto vysvetliť, prečo platí to na ľavej strane obŕazku ,a či je pravda to čo je na pravej strane,myslím, nemalo by sa to riadiť: $(a+b)^{n}$ ? //forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/14164_C.png

zdenek1 · 10. 03. 2016 13:56

↑ Contemplator:
Ono se to řídí $(a+b)^n$
ale jěště navíc platí ta Moivreova věta.

Na levé straně jsou definice. Takže nejlepší odpověď na otázku "proč?", je "Protože to krásně funguje."

Cheop · 10. 03. 2016 13:58 — Editoval Cheop (10. 03. 2016 13:59)

↑ Contemplator:
$(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2$ a protože $i^2=-1$ pak:
$(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2$

Rumburak

↑ Contemplator:

Ahoj.

Na levé straně:

Je-li $z = a + bi$ algebraický tvar komplexního čísla $z$ , potom

- zápisem $\overline{z} := a - bi$ je definováno číslo komplexně sdružené se $z$ ,

- zápisem $|z| := \sqrt{a^2 + b^2}$ je definována absolutní hodnota čísla $z$ .

Známe-li opareci součinu dvou komplexních čísel, můžeme velmi snadno dokázat, že za uvedených předpokladů je
$z\overline{z} = a^2 + b^2$ , takže potom lze psát $|z| = \sqrt{z\overline{z}}$ .

Na pravé straně:

Samozřejmě lze uplatnit binomickou větu. Avšak vedle toho platí i věta pana de Moivre, která říká, co uvedeno.
Oním libovolným reálným číslem, o němž se hovoří v předpokladu, je číslo $\varphi$ .

Contemplator · 10. 03. 2016 18:06

Ok, tak ľavá strana: akosi to chápem :) musí sa to od niečoho odrážať/ nadväzovať na niečo - na Pytagorovu vetu teda klasický grécky prístup. A pravá strana: keď si dám: $(\cos \alpha +i\sin \alpha )^{2}=\cos ^{2}\alpha +2\cos \alpha\cdot i\sin \alpha -\sin ^{2}\alpha$ tak ako by mi to malo vzniknúť , alebo ako zároveň to spraviť aj s tou Moivreovou vetou ?:)

Al1 · 10. 03. 2016 20:40 — Editoval Al1 (10. 03. 2016 20:54)

↑ Contemplator:

Zdravím,

vycházejme nejprve ze dvou komplexních čísel
$z_{1}=|z_{_{1}}|(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})\nl z_{2}=|z_{_{2}}|(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})$
pak

$z_{1}\cdot z_{2} =|z_{_{1}}|\cdot |z_{_{2}}|(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})=\nl =|z_{1}z_{2}|\bigg(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}+i(\sin \varphi _{1}\cos \varphi_{ 2}+\sin \varphi _{2}\cos \varphi _{1})\bigg)=\nl =|z_{1}z_{2}|\bigg(\cos( \varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin (\varphi _{1}+\varphi _{2})\bigg)$

A v případě, že $z_{1}=z_{2}$ , pak $\varphi _{1}=\varphi _{2}$ a dostaneme $z_{1}^{2}=|z_{1}|^{2}(\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi )$

Podobně bychom mohli rozvést tyto výpočty až do n-té mocniny

zdenek1 · 10. 03. 2016 22:14

↑ Contemplator:
$(\cos \alpha +i\sin \alpha )^{2}=\cos ^{2}\alpha +2\cos \alpha\cdot i\sin \alpha -\sin ^{2}\alpha$
tak pokračuj
$\underbrace{\cos ^2\alpha -\sin ^2\alpha}_{\cos 2\alpha } +i\cdot \underbrace{2\sin\alpha\cos\alpha }_{\sin 2\alpha}$

to jsou základní goniometrické vztahy

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2016 13:49

Otázky z komplexných čísel

#2 10. 03. 2016 13:56

Re: Otázky z komplexných čísel

#3 10. 03. 2016 13:58 — Editoval Cheop (10. 03. 2016 13:59)

Re: Otázky z komplexných čísel

#4 10. 03. 2016 14:09 — Editoval Rumburak (10. 03. 2016 14:17)

Re: Otázky z komplexných čísel

#5 10. 03. 2016 18:06

Re: Otázky z komplexných čísel

#6 10. 03. 2016 20:40 — Editoval Al1 (10. 03. 2016 20:54)

Re: Otázky z komplexných čísel

#7 10. 03. 2016 22:14

Re: Otázky z komplexných čísel

Zápatí