Matematické Fórum

vanok · 02. 04. 2016 12:24 — Editoval vanok (03. 04. 2016 11:38)

Pozdravujem,
Asi kazdeho uz napadla tato otazka:
Existuje vektorovy priestor $(\mathbb{R},+,\mathbb{C},*)?$
Presnejsie povedane, existuje vonkajsy sucin, $( \mathbb{C} \times \mathbb{R})\to \mathbb{R}:(z,r) \mapsto z*r$ ? (z su skalary, r vektory).
Strucne povedane, pre taky sucin ( ak existuje) $\mathbb{R}$ je $\mathbb{C}-$ vektorovy priestor.

Odpoved je: existuje. Len co budem mat trochu casu, popisem jednu takuto strukturu.

vanok · 26. 04. 2016 23:10 — Editoval vanok (26. 04. 2016 23:14)

Najprv predpokladajme, ze take vonkajsie nasobenie existuje a definujme
$\theta:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:r\mapsto i\star r$
Polozme $x \cdot r=x\star r$ pre $(x,r)\in \mathbb{R}x\mathbb{R}$ .
Potom $(\mathbb{R},+,\mathbb{R},.)$ je jeden vektorovy priestor, a $\theta$ je jeden endomorfismus tohto priestoru taky,ze $\theta o \theta=-id_{\mathbb{R}}$ .
Naviac pre $x,y,r \in \mathbb{R}$ mame
$(x+i y)\star r= x\cdot r+y\cdot \theta (r)$ .

Na pokracovanie

vanok · 25. 05. 2016 13:03

Reciprocne.
Nech $(\mathbb{R},+,\mathbb{R},.)$ je vektorovy priestor na $\mathbb{R}$
a $\theta$ jeden endomorfismus tohto priestoru taky, ze $\theta o \theta=-id_{\mathbb{R}}$ .
Definujme externe nasobenie (= nasobenie skalarom) relaciou
$(x+i y)\star r= x\cdot r+y\cdot \theta (r)$ .
Overit, ze pre toto nasobenie $\mathbb{R}$ je $\mathbb{C}$ -vektorovy priestor ( co piseme ako $(\mathbb{R},+,\mathbb{C},*)$ ) je jednoduche, ( urobte to ) az na to ze skutocne treba pouzit $\theta o \theta=-id_{\mathbb{R}}$ .

Cize na do riesenie problemu treba nast taky endomorfismus $\theta$ .

A to je mozne vdaka Hamel-ovym bazam.

Na pokracovanie

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2016 12:24 — Editoval vanok (03. 04. 2016 11:38)

Vektorovy priestor

#2 26. 04. 2016 23:10 — Editoval vanok (26. 04. 2016 23:14)

Re: Vektorovy priestor

#3 25. 05. 2016 13:03

Re: Vektorovy priestor