Matematické Fórum

Katsushiro · 10. 06. 2016 16:32

Ahoj všichni!

Dneska jsem narazil na definici Sobolevova prostoru:

Máme normu

$||u||_{k,p} = \left( \sum_{|\alpha| \leq k} \int_\Omega \left| D^\alpha u \left(x \right) \right|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}$ .

Sobolevův prostor $W^{k,p}(\Omega)$ je pak zúplnění prostoru

$(C^\infty(\overline{\Omega}), || \cdot ||_{k,p})$ .

Nejsem si vůbec jistý, jestli tohle chápu dobře... Jde o to, že Sobolevův prostor je prostor funkcí s normou $||u||_{k,p}$ a všechny její prvky (funkce) mají spojité všechny derivace?

Bati · 10. 06. 2016 18:28 — Editoval Bati (10. 06. 2016 21:20)

Ahoj ↑ Katsushiro:,
uvědom si, že ne všechny prostory s normou jsou úplné. Třeba prostor $C^1([-1,1],\lVert\cdot\rVert_{0})$ , kde $\lVert f\rVert_{0}:=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|$ není úplný. Můžeš totiž najít posloupnost v $C^1$ , která v normě $\lVert\cdot\rVert_{0}$ (tj. stejnoměrně) konverguje např. k funkci $f(x)=|x|$ , která nemá derivaci v nule. Jsou 2 možnosti, jak to spravit.

1) Vzít správnou normu. Z předchozího protipříkladu je zřejmé, že je třeba zohlednit fční hodnoty i derivace, takže definjeme $\lVert f\rVert_{1}:=\lVert f\rVert_0+\lVert f'\rVert_0$ . Pak už prostor $C^1([-1,1],\lVert\cdot\rVert_1)$ je úplný (tj. Banachův).

2) Prostor $C^1([-1,1],\lVert\cdot\rVert_{0})$ zúplníme, tj. vezmeme $X:=\overline{C^1([-1,1])^{\quad\lVert\cdot\rVert_0}}$ . Měl bys nahlédnout, že $X=C^0([-1,1],\lVert\cdot\rVert_0)$ .

Nyní k tvému konkrétnímu problému. O prostoru $C^\infty(\overline{\Omega})$ je známo, že není úplný vzhledem k žádné normě (je to totiž jen Fréchetův prostor), takže zbývá možnost 2). Platí tedy $W^{k,p}(\Omega)=\overline{C^{\infty}(\overline{\Omega})^{\quad\lVert\cdot\rVert_{k,p}}}$ . Rozhodně to ale neznamená, že každá Sobolevovská funkce je hladká, znamená to jen, že ke každé Sobolevovské funkci můžeme najít posloupnost hladkých funkcí, která k ní konverguje v $\lVert\cdot\rVert_{k,p}$ normě. To je ale velmi významná vlastnost, která se používá k důkazu různých vlastností Sobolevovských funkcí (rozšíření, vnoření, stopa ...).

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2016 16:32

Sobolevův prostor - definice

#2 10. 06. 2016 18:28 — Editoval Bati (10. 06. 2016 21:20)

Re: Sobolevův prostor - definice

Zápatí