Matematické Fórum

Marian · 29. 06. 2016 18:47 — Editoval Marian (29. 06. 2016 19:38)

Uspořádejte následující reálná čísla vzestupně podle jejich velikosti:

$\large\boldsymbol{\sqrt{3},\qquad \sqrt[\sqrt{2}]{2},\qquad\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}.$

Při řešení použijte pouze elementární úpravy.

PS: Úloha není obtížná, ale je tam jeden moment, který může pobavit.

Anonymystik

↑ Marian:

$x = \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
$y = \sqrt{2}^{\sqrt{2}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\sqrt{2}} = 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$z = \sqrt[\sqrt{2}]{2} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{1}{2 \sqrt{2}}} = 2^{\frac{\sqrt{2}}{4}}$

Odtud:

$x^4 = 9$
$y^4 = 2^{2 \sqrt{2}}$
$z^4 = 2^{\sqrt{2}}$

Protože mocnina je rostoucí funkce, tak $x>y>z$ právě když $x^4> y^4> z^4$ , stačí tedy porovnávat 4. mocniny čísel x, y, z.

Použiju odhad, že $\sqrt{2} < 1.5$ . Díky tomu, že exponenciála se základem 2 je rostoucí funkce:

$y^4 = 2^{2 \sqrt{2}} < 2^{2 \cdot 1.5} = 2^3 = 8$
$z^4 = 2^{\sqrt{2}} < 2^{1.5} < 2^2 = 4$

Na druhou stranu je $\sqrt{2} > 1$ , takže

$y^4 = 2^{2 \sqrt{2}} > 2^{2 \cdot 1} = 2^2 = 4$ .

Máme tedy následující nerovnost: $x^4 = 9 > 8 > y^4 > 4 > z^4$ , tedy zkráceně $x^4>y^4>z^4$ . Z úvahy výše tedy získáváme, že $x>y>z$ .

Marian · 30. 06. 2016 03:50

↑ Anonymystik:

Není to správně...

Anonymystik · 30. 06. 2016 13:25

↑ Marian: No ty čísla jsem si zkoušel dát do kalkulačky (jen pro kontrolu) a měl bych to mít přinejmenším správně seřazené. Druhá věc pak je, zda nemám v důkazu chybu. Já ji ale bohužel nevidím, kdyžtak napiš, kde přesně ti to přijde nesprávně. Díky.

Marian · 30. 06. 2016 16:27

↑ Anonymystik:

Nerad bych ti kazil radost, ale jestlipak nekontroluješ na kalkulačce něco, co už je špatně.

Stýv · 30. 06. 2016 18:52

↑ Anonymystik: myslím, že sis špatně přečtl $\sqrt[\sqrt2]2$ (stejně jako já, když jsem se na to podíval poprvé)

Anonymystik

↑ Stýv: Ahoj, asi jsem zmatený. Já si to přečetl jako udělej n-tou odmocninu ze dvou, kde n je také odmocnina ze dvou. Jakou jinou interpretaci by to mohlo mít? Týká se to nějak toho, co jsem dal do odkazu? https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration

Edit:: už vím, kde mám chybu. Jsem to ale blbec... :-)
Takže y=z.

Marian · 30. 06. 2016 20:32

↑ Anonymystik:

Ano, to je přesně ten moment, na který jsem se tak těšil. Ačkoliv to tak nevypadá, je y=z.

Matematické Fórum

#1 29. 06. 2016 18:47 — Editoval Marian (29. 06. 2016 19:38)

Seřazení čísel dle velikosti

#2 29. 06. 2016 22:31 — Editoval Anonymystik (29. 06. 2016 22:44)

Re: Seřazení čísel dle velikosti

#3 30. 06. 2016 03:50

Re: Seřazení čísel dle velikosti

#4 30. 06. 2016 13:25

Re: Seřazení čísel dle velikosti

#5 30. 06. 2016 16:27

Re: Seřazení čísel dle velikosti

#6 30. 06. 2016 18:52

Re: Seřazení čísel dle velikosti

#7 30. 06. 2016 19:36 — Editoval Anonymystik (30. 06. 2016 19:42)

Re: Seřazení čísel dle velikosti

#8 30. 06. 2016 20:32

Re: Seřazení čísel dle velikosti

Zápatí