Matematické Fórum

Fonzik · 19. 10. 2016 19:50

Zdravím, prosím vás, mohli by jste pomoct s tímto příkladem?
Dokažte, že platí. A ÷ (B ÷ C) = (A ÷ B) ÷ C
Rozepsal jsem to, jak to jen šlo, ale stále jsem neuměl porovnat obě strany tak, aby bylo jasné, že jsou stejné..

byk7 · 19. 10. 2016 20:20

To je celkem otrava. :)

Buď to budeš rozepisovat z definice, nebo si všimneš nějakých vztahů, co ti pomůžou (u Proposition 9 jsou dle mého názoru nevhodně použity složené závorky).

Fonzik · 19. 10. 2016 20:44

Tak ve videu to jde krásně vidět, ale když se to rozepisuje "normálně" do řádku tak jsem neviděl vůbec nic :D Díky.

Fonzik · 19. 10. 2016 20:51

Mám ještě jeden příklad
Dokažte, že platí.
(A ∪ B) − C ⊆ A ∪ (B − C)

Když je mezi těmi vztahy = tak to jde většinou snadno, ale když je tam inkluze, moc si nevím rady. Zkoušel jsem to sporem, ale nějak jsem se nedobral k výsledku. (inkluzi jsem nahradil implikací a tu potom znegoval, ale nic moc jsem z toho nezjistil)

byk7 · 19. 10. 2016 21:07

Jestli ukazuješ inkluzi $X\subseteq Y$ , tak chceš ukázat $\forall a\in X\Rightarrow a\in Y$ . Stačí tak?

Fonzik · 19. 10. 2016 21:46

Už jsem se dostal k odpovědi, jen jestli by jsi mi to mohl zkontrolovat prosím.
Vztah jsem přepsal takto:
$(x\in A \vee x\in B)\wedge x\not\in C\Rightarrow x\in A\vee (x\in B\wedge x \not\in C)$

Potom jsem implikaci znegoval (důkaz sporem), takže "první formule platí a zároven druhá neplatí, tedy:
$((x\in A \vee x\in B)\wedge x \not\in C)\wedge (x \not\in A\wedge (x \not\in B\vee x \in C))$

Ted jsem pravou stranu uprovaval a dostal:
$(x\not\in A\wedge x\not\in B)\vee (x\not\in A\wedge x\in C)$

Teď, když porovnám
$(x\in A \vee x\in B)\wedge x \not\in C$

a

$(x\not\in A\wedge x\not\in B)\vee (x\not\in A\wedge x\in C)$

Dá se z toho vyvodit, že je to spor a tudíž prvotní rovnost platí? Protože když $(x\not\in A\wedge x\not\in B)$ tak je to spor, protože "x" nebude ležet ani v A ani v B(což podle předpokladu musí alespon v jedné z nich), a když $(x\not\in A\wedge x\in C)$ , tak "x" nebude ležet v A (což podle předpokladu nemusí), ale bude ležet v C(což podle předpokladu nesmí)

Snad je to srozumitelné.

byk7 · 19. 10. 2016 22:08

No, asi jo, ale je to dost takové "nepěkné".

Pokud to chceš dělat sporem, tak
$((x\in A \vee x\in B)\wedge x \not\in C)\wedge (x \not\in A\wedge (x \not\in B\vee x \in C))$
je to samé, co (proč?)
$(x\in A \vee x\in B)\wedge x \not\in C\wedge x \not\in A\wedge (x \not\in B\vee x \in C)$
a odtud už spor (bez dalších úprav) plyne.

Nebo to můžeš dělat přímo s využitím distibutivity

(proč platí poslední implikace?)

Fonzik · 19. 10. 2016 22:15

Právě s těma "přechodama" u kterých píšeš proč je to to samé a proč to platí, se potkávám ve výsledcích, ale právě neumím přijít na to, proč je to to stejné. (U prvního se prostě vypustí závorky tam, kde je konjunkce, což můžeme udělat, u druhého příkladu s tou distributivitou nevím)

byk7 · 19. 10. 2016 22:33

Závorky můžeš vypustit, protože konjunkce je asociativní (musíš si ale dát pozor, kde je vypouštíš).

U druhého důkazu se distributivita využila jen v první implikaci. Ve druhé jsme využili toho, že $(x\in A\wedge x\notin C)\ \Rightarrow\ x\in A$ . To by mělo být zřejmé, zkus se nad tím ještě zamyslet.

Fonzik · 19. 10. 2016 22:37

Jo takhle, díky moc. Takže eventuelně, kdybychom potřebovali, tak můžeme zapsat $\,x\in A\vee (x\in B\wedge x \not\in C)$ jako $\,x\in A\vee x\in B$ ?

byk7 · 19. 10. 2016 22:42

↑ Fonzik:
Dej si pozor
$\bigl(x\in A\vee (x\in B\wedge x \not\in C)\bigr)\Rightarrow(x\in A\vee x\in B)$
ale
$\bigl(x\in A\vee (x\in B\wedge x \not\in C)\bigr)\not\Leftarrow(x\in A\vee x\in B)$
prostě, ekvivalence to není.

Fonzik · 19. 10. 2016 22:44

Ještě jednou díky moc.. koukám, že jsi taky z Masaryčky, zítra právě píšu z diskrétní matematiky (jsem na obecné matematice), tak uvidíme, snad to půjde :)

vanok · 19. 10. 2016 22:47

Ahoj ↑ byk7:,
Poznamka
Ina metoda je vysetrit vsetkych 8 pripadov podla toho ci $x \in \notin A,B,C$

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2016 19:50

Diskrétní matematika příklad

#2 19. 10. 2016 20:20

Re: Diskrétní matematika příklad

#3 19. 10. 2016 20:44

Re: Diskrétní matematika příklad

#4 19. 10. 2016 20:51

Re: Diskrétní matematika příklad

#5 19. 10. 2016 21:07

Re: Diskrétní matematika příklad

#6 19. 10. 2016 21:46

Re: Diskrétní matematika příklad

#7 19. 10. 2016 22:08

Re: Diskrétní matematika příklad

#8 19. 10. 2016 22:15

Re: Diskrétní matematika příklad

#9 19. 10. 2016 22:33

Re: Diskrétní matematika příklad

#10 19. 10. 2016 22:37

Re: Diskrétní matematika příklad

#11 19. 10. 2016 22:42

Re: Diskrétní matematika příklad

#12 19. 10. 2016 22:44

Re: Diskrétní matematika příklad

#13 19. 10. 2016 22:47

Re: Diskrétní matematika příklad

Zápatí