Matematické Fórum

a to nevadi kdyz jsou v poslednim radku same nuly? resi se to pres ty vlastni cisla, takze dam do diagonaly lambdu, ale v poslednim radku bude 0-lambda jak se stim dale pocitá, moc tomu nerozumim,

diky za odpovedi

uloha na vlastni cisla matice zni
                                             Ax = Lx,                                      (1)
kde L je vlastni cislo, x je vlastni vektor, rovnici upravim na
                                             (A-LI)x=0,                                   (2)
kde I je jednotkova matice. Aby (2) melo netrivialni x, musi pro determinant platit
                                             det(A-LI)=0                                  (3)


vypocitam determinant matice
2-L   3    0
3     2-L  0
0     0    -L
determinant je -L*[9-(2-L)^2]
a vypocitam determinant = 0.. z toho vyjdou tri vlastni cisla L=0, L=-1, L=5

reseni je na konci..

no ty vlastni vektory prislusne vlastnim cislum dostanes vyresenim rovnice (2), kdyz za L dosadis konkretni vlastni cislo,
takze konkretne pro L=0 mas rci
2   3   0      x               0
3   2   0   .  y       =      0
0   0   0      z               0                               (predstav si to pls jako nasobeni matice 3x3 s vektorem(x,y,z))

ze ktere vyjde vlastni vektor x0=(0,0,0)

pro L=-1 mas rci
3   3   0      x               0
3   3   0   .  y       =      0
0   0   1      z               0   

vyjde vektor x(-1)=(1,-1,0)

atd.



ps, ten determinant sem uz opravil, diky

matice je

2-L   3    0
3     2-L  0
0     0    -L

takze kdyz za L dosadim -1, da to co sem napsal

no jak uz sem rek, vezmes vypoctene vlastni cislo, dosadis ho do rovnice
Ax=Lx, nebo (A-LI)x=0
a rovnici vyresis, vysledek x je vlastni vektor

jj, mas pravdu, udelal sem chybu, takze pro upresneni

pro L=0 mas rovnici
2   3   0      x               0
3   2   0   .  y       =      0
0   0   0      z               0                               

ze ktere vyjde vlastni vektor x0=(0,0,t)

pro L=-1 mas rovnici
3   3   0      x               0
3   3   0   .  y       =      0
0   0   1      z               0   

vyjde vektor x(-1)=(t,-t,0)

pro L=5 mas rovnici
-3  3   0      x               0
3  -3   0   .  y       =      0
0   0   5      z               0   

vyjde vektor x(5)=(t,t,0)



Takze ortonormalni soubor vlastnich vektoru je ( (0,0,1), 1/sqrt2 *(1,1,0), 1/sqrt2*(1,-1,0) )

ja uz sem ti je do vysledku ortonormalizoval.
Na tu ''dvojtou abs. hodnotu'' koukej jako na velokost vektoru, napr. //(1,2,3)//=odmocnina z 1^2 + 2^2 + 3^2

tak A = QT * D * Q   je zkouska, kdyz se to vypocte vyjde zadana matice A

spektralnim rozkladem je jen matice D a Q

jo a jeste jak si prisel na ty ortonorm. vektroy, jak se to presne pocita?

napr. q1 = v1/((v1))   [1 1 0]/sgrt2(1*1+1*1+0*0) = 1/sfrt2 [1 1 0]T  (transponovane to posledni)

a jak potom s tech vsech vysledku sestavim tu matici Q ???

jo, je tam chyba, mi po roynasobeni vychazi

2  -3  0
-3  2  0
0   0  0

jen jeste nevim kde..

Takze rozklad je


                                  -1 1  0    -1  0  0     -1  1 0
A= (1/sqrt2)(1/sqrt2)   1  1  0  .  0  5  0  .   1 1  0
                                  0  0 √2     0  0  0     0  0 √2         po roznasobeni vyjde matice A,

vlastni vektory sou

L=-1   x=(1/√2)*(-1,1,0)
L=5    x=(1/√2)*(1,1,0)
L=0    x=(0,0,1)


nebo
                                  1  1  0    -1  0  0     1 -1 0
A= (1/sqrt2)(1/sqrt2)   -1 1  0  .  0  5  0  .  1  1  0
                                  0  0  1     0  0  0     0  0  0

s vlastnimi vektory

L=-1   x=(1/√2)*(1,-1,0)
L=5    x=(1/√2)*(1,1,0)
L=0    x=(0,0,1)


u toho vektoru pro vlastni cislo L=-1 mas totiz volnost, jestli dat znamenko k prvni nebo druhe jednicce.
ted uz to funguje.

nebudu zakladat novy topic, takze:


mam udelat spektralni rozklad, jenze ja nedokazu zpocitat ani determinant... vyjde mi tam neco jako:


a toto nedokazu polozit rovno nule. prosim o napovedu, dekuji

edit: tim x myslim lambdu
edit2: trosku uprava
edit3: uz to mam -1, 5.... ale dalo mi to zabrat :)

Po dosazeni lambdy mi vyšly 3 matice:
2 0 0
0 1 odmocnina ze 3
0 0 0



0 -1 odmocnina ze 3
0 odmocnina ze 3 1
0 0 0


-2 0 0
0 odmocnina ze 3 -1
0 0 2odmocniny ze 3

teď musím spočítat ty vlastní vektory ale vůbec nevím jak to udělat s těmi parametry, nepřišla jsem tam na žádný systém... Poradí někdo prosím?