Matematické Fórum

↑ vanok:

↑ vanok:
To je pravda, tak kvocient musí být menší než kladný kořen rovnice q^3-q^2-q-1=0. A podobně pro q<1, tam také nemůže být příliš blízký k 0.

↑ vanok:

Skrytý text:

nad průměrem kružnice:

hodnoty q:

↑ Eratosthenes:
Ahoj, jejich tvar se sice na střední škole neprobírá, ale najít podmínky, které délky jejich stran musí splňovat, tj. tu rovnici pro q, to by středoškolák mohl a měl zvládnout Vlastně jde jen o to popsat, že nejdelší strana je kratší než součet ostatních.

Ahoj ↑ Eratosthenes:,
Ale tu http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=95306  #2 sme hovorili o tom kedy je mozne najst tetivovy stvotuholnik pre dane dlzky stran.
To pochopitelne neznamena, ze vsetky mozne stvoruholniky ktorych maju dane dlzky stran su tetivove.
Ale tu odpovedame na otazku kedy je to mozne
A v citovanom vlakne sme ukazali aj ine vlasnosti... a tu pokracujeme ...

↑ Honzc: dobry vysledok.
Mozno kolegovia stredoskolaci by chceli vediet viac podrobnosti.

Ako urobit geometricku konstruckciu ( GeoGebra) taketo tetivoveho stvoruholnika v danej kruznice pre urcite k ( ↑ vanok:)?

Ahoj ↑ Eratosthenes:,
Dany problem je dost otvoreny a aj ked som tam dal do podmienok polomer, to nie je velka brzda k rieseniu.
Dokonca v tomto specialnom pripade,(= za podmienky geometrickej postupnosti) som presveceny, ze existuje geometricke riesenie, pristupne dobremu aj  stedoskolakovy.  ( Ak to chces skusit staci si spomenut na geometricke miesta bodov, ktore su casti kruznice... et konzervuju dany  pomer....)

Pochopitelne cisto algebricka cesta je zaujimava mozna cesta, ale ako si poznamenal napisat rovnice co popisuju situaciu a ich vyriesit, nie je vseobecna stredoskolska cesta.
Myslienky v podobnom vlakne mozu byt uzitocne aj tu... Aj teoremu co som pripomenul, ma geometricke riesenie.....

Nast "geometricky" tetivovy stvruholnik = dat alebo konstruhovat dlzky jeho stran v danej kruznici (polomeru 1)....( homotetia = rovnolahlost nie je zakazana)

Napr. kolega ↑ Honzc: to urobil algedricky v jednoduchej situacii presne ako som to cakal, podla otazky tu ↑ vanok:.

Som rad, ze si sa uz trochu pobavil na tomto probleme a ze budes ( mozno) pokracovat.

Zelam vsetko naj naj do noveho roku.

Eratosthenes napsal(a):

ahoj ↑ vanok:,
Přiznám se, že jsem si s tím včera trochu hrál. Vyzkoušel jsem asi čtyři možné způsoby řešení, ale každý vedl na nelineární soustavu pěti rovnic o pěti neznámých. A to je pro středoškoláka asi dost nestravitelné.

Mně vyychází jedna rovnice o jedné neznámé stupně nejvýše 3. Ale i to je asi na středoškoláka moc.

↑ Eratosthenes:
Ze vzorce zde:
https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscr … properties
lze vyjádřit poloměr kružnice opsané pomocí stran. U tětivového čtyřúhelníku je tento poloměr stejný - rozdělím čtyřúhelník na dva trojúhelníky s doposud neznámou úhlopříčkou - to je ta jedna neznámá - a pomocí toho vzorce porovnám. Díky tomu, že strany tvoří geometrickou posloupnost se mi čitatelé vykrátí - pokud zvolíme úhlopříčku vhodně, tj. tu, která dělí čtyřúhelník na trojúhelník obsahujcíí nejdelší a nejkratší stranu té geom. posloupnosti. Pak to celé umocním na druhou a porovnávám jmenovatele. Snad jsem nic nepřehlédl.
Je možné, že tak získám i délku, která není řešením, ale vzhledem k tomu, že kořeny vyjdou jen 3, tak by mělo být možné "poznat", který je ten správný.
(Neomezuju se na čtyřúhelník vepsaný jednotkové kružnici - ale ten je tomu, který zde zkoumám, podobný.)

Ahoj ↑ check_drummer:,
Mozes popisat podobne nejaky pripad napr. ak k=1,5?

Tu pridam zaujimave vlasnosti.
A)
Na kruznici mame body A, C ,nech  B,D su body prieseku lubovolnej tetivy co prechadza stredom bodov AC z , potom ( to nie je dostatujuca podmienka)
B)
Geometricke miesto bodov take,  ze je kruznica .

ahoj ↑ vanok:

pro k=0.7 podle popisu:



Takže DA=k^3 neplatí. A nevidím žádný čtyřúhelník. Co jsem nepochopil?

↑ vanok:

:-) OK - pěkné.



Ale obecné řešení to stejně není - je to jen nad průměrem té kružnice. Obávám se, že žádné řešení, kde je nejdelší strana kratší než jedna, není PK sestrojitelné - pokud se kolegovi ↑ check_drummer: nepodaří vymyslet místo kubické rovnice rovnici jen kvadratickou :-)

↑ vanok:

>> Pozor AB nie priemer kruznice...

Je. V zadání vepisujeme do kružnice o průměru jedna a v konstrukci je |AB|=1. A to se dá se najít jednodušší konstrukce:



PS: Aha - v zadání je poloměr jedna. No ale to je úplně jedno: na obou postupech nic nemění - čtyřúhelník  se sestrojí nad průměrem jedna a pak se dvakrát zvětší :-) Nejdelší strana takto sestrojeného čtyřúhelníka je v každém případě průměr kružnice. Dovedu si představit ještě PK konstrukci, kdy průměrem bude úhlopříčka (opět použitím Apolloniových kružnic):



Ale jak už jsem psal, sestrojit takový čtyřúhelník obecně (mimo tyto speciální případy) pravítkem a kružítkem asi nepůjde a dokázat, zda vůbec jiný takový čtyřúhelník existuje nebo neexistuje, bude možná taky problém...