Matematické Fórum

Ondrik_B · 10. 01. 2017 14:21

Ahoj, řeším konvergenci této řady:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sin n \ \sin n}{n}$

Použil bych Abelovo - Dirichletovo kriterium. Podmínka $\lim_{n \to \infty} \frac {1} {n} = 0$ je splněna. Nyní potřebuji zjistit, zda $\sin^2 n$ má částečný omezený součty.

Z přednášky máme poznatek: $\sum_{i=1 }^{n} \sin (ix) \le \frac {2}{1-\cos x}$ . Zvolím-li x = 1 dostanu:

$\sum_{i=1 }^{n} \sin^2 (i) \le \frac {2}{1-\cos x}$
tedy sinus má částečný omezený součty. Otázka je zda má i $\sin^2 n$ omezený částečný součty. Uvažoval jsem takto:

$\sum_{i=1 }^{n} \sin^2 (i) \le \left(\sum_{i=1 }^{n} \sin (i)\right)^2 \le \left(\frac {2}{1-\cos 1}\right)^2$

Tedy i $\sin ^2 n$ má omezený částečný součty.

Podle A-D kriteria tedy řada konverguje.

Jsou moje úvahy správné?

Dík y.

Pavel · 10. 01. 2017 15:02

↑ Ondrik_B:

Tvé úvahy jsou chybné. Protože

$\sin^2n=\frac{1-\cos 2n}{2},$

vyplývá z toho, že

$\sum_{n=1}^N\sin^2n=\sum_{n=1}^N\frac{1-\cos 2n}{2}=\frac N2-\frac 12\sum_{n=1}^N\cos 2n.$

Poslední suma je omezená, proto částečné součty posloupnosti $\{\sin^2 n\}_{n=1}^\infty$ omezené nejsou.

Ondrik_B · 10. 01. 2017 15:21

↑ Pavel:

Děkuji. Nevíte jak řadu ze zadání řešit?

Xellos · 10. 01. 2017 20:42

Pouzi uz spomenuty vzorec $\sin^2n=\frac{1-\cos 2n}{2}.$
Suma $\sum \frac{\cos{2n}}{n}$ konverguje, dokazes to tak ako si skusal pre povodnu sumu. Suma $\sum \frac{1}{n}$ diverguje. Ich rozdiel musi teda tiez divergovat.

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2017 14:21

Konvergence (divergence) řady

#2 10. 01. 2017 15:02

Re: Konvergence (divergence) řady

#3 10. 01. 2017 15:21

Re: Konvergence (divergence) řady

#4 10. 01. 2017 20:42

Re: Konvergence (divergence) řady

Zápatí