Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 02. 2017 18:00 — Editoval slender (10. 02. 2017 18:00)

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Distribuční funkce náhodné veličiny

Ahoj,
snažím se vyřešit tuto úlohu:

Nechť $\xi_1,\xi_2,\dots$ jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s rozdělením:

$P[\xi=k]=\frac{1}{10}$ pro $k=0, 1, 2, \dots, 9$

Definujme náhodnou veličinu $X=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\frac{1}{10^i}$.

Určete distribuční funkci náhodné veličiny X.


Poradil by mi prosím někdo, jak začít?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) slender)

#2 10. 02. 2017 19:49

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5650
Reputace:   215 
Web
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

začni tím, že si uvědomíš, co znamená zápis $X=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\frac{1}{10^i}$

Offline

 

#3 11. 02. 2017 14:37 — Editoval slender (11. 02. 2017 14:37)

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ Stýv: Jediné na co jsem zatím přišel je, že pro zjištění rozdělení bych měl vycházet z věty o rozdělení součtu náhodných veličin:

Pro součet diskrétních náhodných veličin $Z=X+Y$ platí:
$P[Z=z]=\sum_{x}{P[X=x,Y=z-x]}$

Nevím ale, jak ji přesně využít u nekonečného součtu, když jsou navíc náhodné veličiny násobeny $\frac{1}{10^i}$.

Offline

 

#4 11. 02. 2017 14:42 — Editoval slender (11. 02. 2017 14:44)

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

Pak mě ještě napadl jiný pohled na $X=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\frac{1}{10^i}$ a to takový, že $i$-tou cifru $X$ tvoří $\xi_i$, tedy že $X$ nabývá hodnot v intervalu $[0,0.\overline{9}]$.

Offline

 

#5 11. 02. 2017 15:05

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5650
Reputace:   215 
Web
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ slender: obvykle se píše [0,1], ale jinak je to dobrý začátek. pokud nemáš představu, o jaké konkrétní rozdělení na intervalu [0,1] se jedná, zkus si určit třeba P(X<=0,374)

Offline

 

#6 11. 02. 2017 15:27 — Editoval slender (11. 02. 2017 15:47)

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ Stýv: Díky, zatím jsem dospěl jen k tomuhle:

$P[X\leq x]=P[\xi_1<x_1]+P[\xi_1=x_1,\xi_2<x_2]+P[\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\xi_3<x_3]+\dots$ kde jako $x_i$ značím $i$-té desetinné místo $x$.

Šlo by to tedy ještě přepsat následovně, abych se zbavil $\xi_i$:
(edit, napsal jsem to špatně)

$P[X\leq x]=\frac{x_1}{10}+\frac{x_2}{10^2}+\dots=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x_i}{10^i}$

Teď pro změnu přemýšlím nad tím, jak vyjádřit $i$-té desetinné místo $x$ rozumněji, než $x_i=\left\lfloor x\cdot 10^i\right\rfloor-\left\lceil(x\cdot10^{i-1})\right\rceil\cdot10$.

Offline

 

#7 11. 02. 2017 15:41 Příspěvek uživatele slender byl skryt uživatelem slender. Důvod: Napsal jsem tam nesmysl.

#8 11. 02. 2017 15:48

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

Jasně, tím pádem $P[X\leq x]=x$ a zbytek už jde dopočítat snad poměrně snadno, díky moc. :)

Offline

 

#9 11. 02. 2017 15:59 — Editoval slender (11. 02. 2017 16:00)

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

Tak jen abych uzavřel téma, dopočítám i samotnou distribuční funkci:

$\int_{-\infty}^x f(u)\mathop{}\!\mathrm{d}u=0+\int_0^{x}u \mathop{}\!\mathrm{d}u=\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^x=\frac{x^2}{2}$

A samozřejmě díky moc Stývovi za navedení ke správnému řešení.

Offline

 

#10 11. 02. 2017 16:07

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5650
Reputace:   215 
Web
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ slender: no to zase prrr! $P[X\leq x]=x$ je správně, ale to přece není hustota

Offline

 

#11 11. 02. 2017 16:08 — Editoval Jj (11. 02. 2017 16:09) Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Není nutné.

#12 11. 02. 2017 16:23

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ Stýv: Ugh, no jo vlastně. Takže distribuční funkce $X$ je vlastně prostě jen $F_X(x)=x$, že?

Offline

 

#13 11. 02. 2017 16:35

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5650
Reputace:   215 
Web
 

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

↑ slender: jo, je to prostě rovnoměrný rozdělení

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson