Matematické Fórum

slender

Ahoj,
snažím se vyřešit tuto úlohu:

Nechť $\xi_1,\xi_2,\dots$ jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s rozdělením:

$P[\xi=k]=\frac{1}{10}$ pro $k=0, 1, 2, \dots, 9$

Definujme náhodnou veličinu $X=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\frac{1}{10^i}$ .

Určete distribuční funkci náhodné veličiny X.

Poradil by mi prosím někdo, jak začít?

Stýv · 10. 02. 2017 19:49

začni tím, že si uvědomíš, co znamená zápis $X=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\frac{1}{10^i}$

slender

↑ Stýv: Jediné na co jsem zatím přišel je, že pro zjištění rozdělení bych měl vycházet z věty o rozdělení součtu náhodných veličin:

Pro součet diskrétních náhodných veličin $Z=X+Y$ platí:
$P[Z=z]=\sum_{x}{P[X=x,Y=z-x]}$

Nevím ale, jak ji přesně využít u nekonečného součtu, když jsou navíc náhodné veličiny násobeny $\frac{1}{10^i}$ .

slender

Pak mě ještě napadl jiný pohled na $X=\sum_{i=1}^{\infty}\xi_i\frac{1}{10^i}$ a to takový, že $i$ -tou cifru $X$ tvoří $\xi_i$ , tedy že $X$ nabývá hodnot v intervalu $[0,0.\overline{9}]$ .

Stýv · 11. 02. 2017 15:05

↑ slender: obvykle se píše [0,1], ale jinak je to dobrý začátek. pokud nemáš představu, o jaké konkrétní rozdělení na intervalu [0,1] se jedná, zkus si určit třeba P(X<=0,374)

slender

↑ Stýv: Díky, zatím jsem dospěl jen k tomuhle:

$P[X\leq x]=P[\xi_1<x_1]+P[\xi_1=x_1,\xi_2<x_2]+P[\xi_1=x_1,\xi_2=x_2,\xi_3<x_3]+\dots$ kde jako $x_i$ značím $i$ -té desetinné místo $x$ .

Šlo by to tedy ještě přepsat následovně, abych se zbavil $\xi_i$ :
(edit, napsal jsem to špatně)

$P[X\leq x]=\frac{x_1}{10}+\frac{x_2}{10^2}+\dots=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x_i}{10^i}$

Teď pro změnu přemýšlím nad tím, jak vyjádřit $i$ -té desetinné místo $x$ rozumněji, než $x_i=\left\lfloor x\cdot 10^i\right\rfloor-\left\lceil(x\cdot10^{i-1})\right\rceil\cdot10$ .

slender · 11. 02. 2017 15:48

Jasně, tím pádem $P[X\leq x]=x$ a zbytek už jde dopočítat snad poměrně snadno, díky moc. :)

slender

Tak jen abych uzavřel téma, dopočítám i samotnou distribuční funkci:

$\int_{-\infty}^x f(u)\mathop{}\!\mathrm{d}u=0+\int_0^{x}u \mathop{}\!\mathrm{d}u=\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^x=\frac{x^2}{2}$

A samozřejmě díky moc Stývovi za navedení ke správnému řešení.

Stýv · 11. 02. 2017 16:07

↑ slender: no to zase prrr! $P[X\leq x]=x$ je správně, ale to přece není hustota

slender · 11. 02. 2017 16:23

↑ Stýv: Ugh, no jo vlastně. Takže distribuční funkce $X$ je vlastně prostě jen $F_X(x)=x$ , že?

Stýv · 11. 02. 2017 16:35

↑ slender: jo, je to prostě rovnoměrný rozdělení

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2017 18:00 — Editoval slender (10. 02. 2017 18:00)

Distribuční funkce náhodné veličiny

#2 10. 02. 2017 19:49

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

#3 11. 02. 2017 14:37 — Editoval slender (11. 02. 2017 14:37)

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

#4 11. 02. 2017 14:42 — Editoval slender (11. 02. 2017 14:44)

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

#5 11. 02. 2017 15:05

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

#6 11. 02. 2017 15:27 — Editoval slender (11. 02. 2017 15:47)

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

#7 11. 02. 2017 15:41 Příspěvek uživatele slender byl skryt uživatelem slender. Důvod: Napsal jsem tam nesmysl.

#8 11. 02. 2017 15:48

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

#9 11. 02. 2017 15:59 — Editoval slender (11. 02. 2017 16:00)

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

#10 11. 02. 2017 16:07

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

#11 11. 02. 2017 16:08 — Editoval Jj (11. 02. 2017 16:09) Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Není nutné.

#12 11. 02. 2017 16:23

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

#13 11. 02. 2017 16:35

Re: Distribuční funkce náhodné veličiny

Zápatí