Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 02. 2017 14:26 — Editoval slender (12. 02. 2017 14:30)

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Výpočet střední hodnoty

Zdravím,
snažím se vyřešit tuto úlohu:

V osudí je umístěno 12 bílých a 8 černých míčů. Jaká je střední doba čekání na vytažení černého míče, pokud míče po vytažení do osudí nevracíme?

Zatím dokážu dát dohromady jen přímočaré řešení, kdy si jako náhodnou veličinu $X$ označím počet vytažených bílých míčů před vytažením prvního černého.

Pak tedy dokážu vyjádřit rozdělení:

$P[X=x]=\frac{\frac{12!}{(12-x)!}}{\frac{20!}{(20-x)!}}\cdot\frac{8}{20-x}=\frac{12!\cdot(20-x)!\cdot8}{(12-x)!\cdot20!\cdot(20-x)}$

Ze kterého mohu vypočítat střední hodnotu:
$EX=\sum_{i=0}^{12}x\cdot\frac{12!\cdot(20-x)!\cdot8}{(12-x)!\cdot20!\cdot(20-x)}$

Připadá mi, že je to poměrně náročný způsob a musí existovat efektivnější řešení. Poradil by mi někdo, prosím?

Kdybychom míče vraceli, šlo by o geometrické rozdělení pravděpodobnosti (jehož rozdělení vypočítám snadno). Možná by to šlo řešit pomocí hypergeometrického rozdělení, které jsme se však neučili (takže je očekáváno, že to dokážu vypočítat bez znalosti vzorečku).

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) slender)

#2 12. 02. 2017 15:43

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5650
Reputace:   215 
Web
 

Re: Výpočet střední hodnoty

doporučil bych rekurzi. vytánheš jeden míček a s pstí 8/20 máš hotovo, s pstí 12/20 ti zbývá 11 bílých a 8 černých. tedy pokud označíme řešení úlohy jako E(12,8) (význam je snad zřejmý), pak platí E(12,8)=1+12/8*E(11,8)...

Offline

 

#3 12. 02. 2017 17:43

slender
Příspěvky: 151
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Výpočet střední hodnoty

↑ Stýv: Jo, díky, to dává smysl.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson